Среднее значение и медиана

Для оценивания параметров используются различные методы, особое место среди них занимает метод максимального правдоподобия. Он применяется в тех случаях, когда известен закон распределения. Суть его в том, что оценки должны быть равны значениям, при которых выборка имеет максимальную вероятность появления.

К характеристикам одномерного распределения относятся:

1. Меры положения (среднее, медиана, мода и др.).

2. Меры рассеивания (размах, коэффициент вариации, дисперсия, среднеквадратичное отклонение).

3. Меры формы (асимметрия, эксцесс, моменты третьего и четвертого порядка).

При статистических расчетах используют различные виды средних: среднее арифметическое, среднее геометрическое, медиану и др. При получении результатов, которые должны сравниваться между собой, необходимо пользоваться одним и тем же средним.

Если в рассматриваемой выборке отдельные элементы не повторяются, то каждый из них влияет на среднее в равной мере и такое среднее называют простым. Если же в выборке некоторые элементы повторяются, причем частота повторения различна, то на среднее влияют как значения, так и частота всех элементов. Среднее, рассчитанное с учетом частоты или, как говорят, «веса» каждого элемента, называется взвешеным. Средние принято обозначать , и т. п.

Пример вычисления среднего значения и медианы, сравнение их устойчивости.

В табл. 1.1 приведены результаты экспериментов в параллельных исследованиях

Таблица 2.1

Среднее значение (100+110 + 115 + 125 + 140 + 145 + 145 + 150) / 8 =128,75.

Ранжированный ряд {100; 110; 115; 125; 140; 145; 145; 150}.

Медиана (125+140)/2 = 132,5 (число членов ряда четное).

На рис 2.1 показано положение среднего (квадрат) и медианы (треугольник) в ряду данных.

Рисунок 2.1 Положение среднего и медианы

Допустим, что у нас есть выделяющиеся данные

Таблица 2.2

Среднее значение (100 + 110 + 115 + 125 + 140 + 145 + 145 + 150 + 230) / 9 = 164,4.

Ранжированный ряд {100; 110; 115; 125; 140; 145; 145; 150; 230}.

Медиана 140 (число членов ряда нечетное).

На рис. 2.2 отображено положение среднего (квадрат) и медианы (треугольник) в ряду данных.

Рисунок 2.2 Положение среднего и медианы при наличии выделяющихся данных

Этот пример показывает, что при наличии данных, которые резко выделяются или заметно отличаются друг от друга, медиана является более устойчивой оценкой, чем среднее значение.

Пример вычисления показателей вариации и доверительных интервалов.

Рассмотрим табл. 2.3, для данных которой рассчитаем показатели вариации.

Таблица 2.3

Вариационный размах R = 91,2 — 70,1 = 21,1. Среднее 76,32.

Дисперсия S² = ((75,7-76,32)² + (70,1-76,32)² + (71,4-76,32)² + (70,7-76,32)² + (71,4-76,32)² + (78,8-76,32)²)/(6-l) = ((-0,62)² + (-6,22)² + (14,88)²+ (-5,62)² + (.4;92)²+ (2,48)2)/6= -(0,3844+ 38,6884 + 221,4144 + 31,5844 + 24,2064 + 6,1504)/5 = 64,13.

Среднеквадратическое отклонение 8,008.

Коэффициент вариации V = (8,008/76,32) 100% = 10,49%.

Используя данные табл. 2.11 и рассчитанные значения среднего и среднеквадратического отклонения, построим для них доверительные интервалы.

Доверительный интервал для среднего

В таблице 2,45 – табличное значение критерия Стьюдента с числом степеней свободы 6 и доверительной вероятностью 0,95. В знаменателе 2,45 – корень квадратный из 6. (таблица 2.4). Таблица 2.4