Метод последовательного исключения влияния независимых переменных (метод Брандона)

Рассмотрим подробнее одну из разновидностей peгрессионного анализа – метод последовательного исключения влияния независимых переменных, известный под названием метода Брандона. В его основе лежит предположение .о том, что влияющие факторы слабо связаны между собой, и искомое уравнение связи можно представить в виде , .

где — среднее значение выхода (функции).

Этот метод наиболее применим в случае, когда на основании предварительных исследований примерно известен качественный характер влияния каждой из независимых переменных х на исследуемую функцию. Однако он может быть применен и в тех случаях, когда такие сведения отсутствуют. Удобство указанного представления аппроксимирующей функции состоит в том, что каждую из составляющих функций, которая зависит только от одной переменной, можно легко оценить.

Аппроксимация начинается с того, что каждое из экспериментальных значений у_i изображается графически как частное значение функции одного переменного, например х_i. Построение выполняется по экспериментальным данным. Совокупность построенных точек дает возможность оценить правильность выбора вида функции f₁ (x₁) и если это нужно изменить ее на более подходящую. Далее методом наименьших квадратов или любым другим определяются коэффициенты первой составляющей функции.

Пользуясь функцией f₁(x₁), определенной указанным способом, рассчитывают ее частные значения, соответствующие экспериментальным значениям х_1i. Найденные частные значения f₁(x_1i), исключают из экспериментальных значений у_i при этом получаются частные значения некоторой функции п-1 переменных, уже не зависящей от х₁.

Пример Воспользуемся опытными данными определения времени прогреваемости вытяжек консервов в капиллярах различного диаметра d. Данные приведены для консервов «Бычки в томатном соке» (содержание, жира Ж=6,7%, рН 5,2) и «Сардины в томатном соусе» (Ж=9,3%. рН 5,48) при температуре окончания прогрева 112, 115, 118 и 121,5° С. Принимаем у=τ (в с); x₁=d (в мм); x₂=t (в ºС)„ В качестве х₃ выберем жирность Ж (в %), поскольку кислотность консервов по теоретическим соображениям не должна влиять на время прогрева жидкости.

Исходные данные представлены таблице 1.3.

Таблица 1.3

ВРЕМЯ ПРОГРЕВАЕМОСТИ ВЫТЯЖЕК КОНСЕРВОВ

Среднее значение выходного параметра

Рассчитывая φ_i как , наносим данные на график (рис. 1.2,а). Видно возрастание f_i(x₁) с ростом х₁. Принимаем линейное приближение и методом наименьших квадратов определяем а₁ = — 0,59; b₁=0,77. Вычисляем значения f_i(x_i) = 0,77x₁-0,59,делим φ₁ на f_i(x₁) результат заносим в таблицу 1.4.

Таблица 1.4

Рисунок 1.2 Пример использования метода Брандона

а – φ₁(х₁); б – φ₂(х₂);

Нанося значения φ_2i на график (рис. 1.2б) обозначим их по-разному для разных значений х₃(точками для x₃= 6,7крестиками для х₃ =9,3), чтобы выяснить вопрос о целесообразности определения φ_3. Из рисунка 1.26 видна, несмотря на большой разброс данных, четкая зависимость f₂(х₂). Принимаем ее линейной: f(x₂)— =a₂+b₂x₂ и определяем а₂ и b₂:а₂=2,18; b₂= -0,01.

Данные по φ₂ для разных х₃ не разделяются на рис; 1.2, а, поэтому в связи с малым количеством данных по х₃ .и предположительно малым влиянием жирности консервов в таком интервале на прогреваемость вытяжки полагаем φ₂=1.

Таким образом, зависимость времени прогреваемости вытяжки консервов от диаметра капилляра d и температуры t можно выразить уравнением τ= 13,5·(0,77 d — 0,59)(2,18-0,01 t).

При использовании метода Брандона необходимо иметь в виду, что операции определения составляющих функций и их исключения должны выполняться с достаточно -высокой точностью, чтобы результирующая аппроксимирующая функция удовлетворительно отражала свойства исследуемой зависимости. Существенным является также вопрос о степени влияния отдельных переменных на ход процесса.

Местоположение каждой функции f_i(x_i) в уравнении, а следовательно, и последовательность решения задачи определяются весомостью соответствующей переменной х (чем значительнее ее участие в процессе, тем меньше должен быть порядковый номер. Если же сравнительное влияние переменных х₁, х₂, х_п осталось неизвестным или выявлено неверно и, следовательно, неправильно задана структура уравнения, использование изложенного метода может привести к ложным выводам.

Задание 1 Рассчитать методом средних и методом наименьших квадратов данные эксперимента приведенные в таблице 1.4

Перед началом расчета произвести графическое изображение зависимости результатов эксперимента

Таблица 1.4

Варианты заданий

Задание 2 Построить уравнение регрессии независимых переменных с помощью метода Брандона на основе данных представленных в таблице 1.5.

Таблица 1.5

Варианты заданий

Контрольные вопросы