Метод наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов сводится к определению коэффициентов уравнения регрессии, обеспечивающих минимум суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от значений, вычисленных по уравнению регрессии, т. е. минимум функции

Необходимым условием минимума функции Ф будет равенство нулю всех частных производных от Ф по искомым параметрам а. . Система этих условий носит название системы нормальных уравнений. Их число равно числу неизвестных коэффициентов уравнения регрессий.

Можно рекомендовать следующее правило записи указанной системы уравнений после того, как выбрана или записана его форма: для получения каждого из уравнений выбранная аппроксимирующая функция поочередно умножается на соответствующий коэффициент при каждом параметре аи после чего берется сумма по количеству опытов от каждого из слагаемых и учиты­вается система выражений сумм отклонений.

Пример Построим ту же математическую модель процесса остывания хлеба более точным методом наименьших квадратов

Таблица 1.2

По-прежнему ищем коэффициенты а₀ и a₁ в уравнении у=а₀+а₁х. Система нормальных уравнений для этого простейшего случая сократится до двух уравнений:

Исходные, экспериментальные данные, а также расчетные значения сведены в таблице. Используем строку Σ для решения системы:

откуда а₀=2,590; а₁= -0,456·10^-2, и уравнение аппроксимирующей прямой принимает вид у=2,590—0,456·10^-2 х.

Если обратиться к решению этой задачи методом средних, то можно сделать вывод, что в данном случае метод средних оказался вполне пригодным для практической работы.