Метод средних

Метод средних позволяет определить аналитическое выражение для кривой регрессии — уравнение регрессии, исходя из требования равенства нулю суммы отклонений экспериментально полученных у_Эi и y_Рi вычисленных из искомого уравнения

Последовательность операций при расчете по методу средних следующая.

1. Производится выбор вида уравнения регрессии. При этом могут быть использованы все функции, приводимые к линейным, степенные многочлены вида у=а₀+ + а₁х+а₂х² + а_зх³ + ... + а_пх^п и другие функции.

2. Экспериментальные значения у, х разбиваются на группы, число которых равно числу коэффициентов a_i подлежащих определению. Число экспериментальных пар у, х в каждой из групп лучше брать одинаковым. Если общее число экспериментов не кратно числу групп, то некоторые пары у, х могут быть записаны в несколько групп.

3. В каждой из групп подсчитывается сумма отклонений, выражение которой приравнивается нулю. В качестве у_р используется выбранная функция, т. е. y_pi = = φ(а₀, а₁, а._п, х_i), которая называется также аппроксимирующей. Суммирование производится по числу пар значений у, х в группе. При раскрытии выражения суммы отклонений пользуются следующими правилами:

Найденную таким образом систему уравнений решают относительно подлежащих определению коэффициентов аппроксимирующей функции.

Пример. Воспользуемся методом средних для математического описания технологического процесса остывания хлеба. В работе показано, что интенсивность отвода тепла с поверхности хлеба q меняется во времени по сложной зависимости. Чтобы линеаризовать ее, попробуем в качестве у принять не q, и lg q. Экспериментальные данные для верхней поверхности каравая подового хлеба, лежащего на верхней полке этажерки, приведены на рис. 1.1, они показывают, что, начиная с четвертого измерения, можно ожидать удовлетворительного описания линейной зависимости.

Рисунок 1.1 – К примеру использования метода средних

Этот момент соответствует началу известного в теории тепловодности регулярного режима охлаждения. Таким образом,

Для аппроксимации зависимости у(х), где в качестве х выберем τ —время процесса (в мин) от начала охлаждения, примем линейную функцию

у=а₀+ а₁х

Общее числом экспериментальных точек, начиная с четвертой, N=15, столько же пар значений х и у. Разобьем эти значения на две группы: с 1-го по 8-е и с 8-го по 15-е. Сгруппированные экспериментальные данные представлены в таблице 1.1, здесь же приведены результаты суммирования значений аргумента х и функции у по каждой группе.

Таблица 1.1

Теперь подсчитаем отклонения в каждой группе и приравняем их нулю, т. е. решим систему уравнений

Подставляя в систему подсчитанные суммы из табл. 15, получим

откуда а₀=2,59; а₁=-0,465·10^-2

Следовательно, уравнение аппроксимирующей функции имеет вид

lgq=2,590—0,456·10^-2 τ.

Рассмотренный метод дает грубую оценку параметров уравнения регрессии и может применяться для предварительной количественной оценки уравнения связи между величинами у и х.