Решение. Эта матричная игра имеет размерность (3х4), т.е. игрок А имеет три стратегии, а игрок В – четыре. Запишем ее в нормальной форме.

					(4)
		(4)

Используя алгоритм принципа минимакса (максимина) имеем:

= max = max {2, 4,1} = 4,

= min = min {5, 4, 6, 7} = 4.

Поскольку , то эта игра определена в чистых стратегиях или является игрой с седловой точкой. Седловая точка а₂₂ = (А₂,В₂) = 4, цена игры =4. Таким образом, совокупность оптимальных стратегий А₂ и В₂ является решением игры.

Если игра не имеет седловой точки, то поиск решения игры приводит к применению слож­ной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более чистых стратегий с определенными вероятностями. Такая сложная стратегия называется смешанной.

ü	Смешанной стратегией игроков А (В) называются выражения вида , , где , , , , – вероятность использования чистой стратегии , – вероятность использования чистой стратегии .
Замечание.	Любая конченная игра имеет решение в чистых или смешанных стратегиях.

Матричные игры тесно взаимосвязаны с задачами линейного программирования.

Каждой матричной игре можно поставить в соответствие две двойственные задачи, отражающие интересы сторон.

Для игрока А задачу записывают по столбцам, для игрока В - по строкам; знаки неравенств для игрока А будут “ ”, для В – “ ”. Правые части ограничений и коэффициенты целевых функций в обеих задачах равны 1, у задачи для игрока А цель , у задачи для игрока В - max.

Для игрока А Для игрока В

где , , .

Последовательность действий при решении игры

1. Проверка матрицы игры на наличие седловой точки.

2. При отсутствии седловой точки сведение игры к двойственным задачам.

3. Решение одной из пары двойственных задач.

4. Выписывание решения игры в смешанных стратегиях.

Решение матричной игры в смешанных стратегиях рассмотрим на примере.

Пример 2.5.2.Решить матричную игру с платежной матрицей

Решение.Вначале, с помощью принципамаксимина (минимакса), определим минимаксную и максиминную стратегии. Для этого в строках платежной матрицы найдем минимальные числа, в столбцах – максимальные из числа.

В нашем случае = max {–2, –1, –3} = –1, = min {4, 3, 1} = 1.

Таким образом, в нашем случае цена игры: .

Поскольку диапазон цены игры и платежная матрица содержат отрицательные числа, то ко всем элементам платежной матрицы следует прибавить число, которое приведет к положительному диапазону цены игры. Здесь это число равно 3.

Платежная матрица приобретет вид , новая цена игры будет принадлежать промежутку

.

Матричная игра сводится к паре двойственных задач линейного программирования.

Для игрока А min z = x1 + x2 + x3	Для игрока В max f = y1 + y2 + y3
Замечание.	Решать симплекс-методом целесообразно задачу для игрока В, поскольку в этой задаче нет необходимости вводить искусственные переменные.

Приведем ЗЛП для игрока В к каноническому виду и перейдем к минимуму:

min (– f) = – y₁ – y₂ – y₃

Имеем двойственную ЗЛП, которую будем решать симплекс-методом:

Таблица 2.5.1

Симплексный метод решения ЗЛП

Оптимальный план: у₁ = 4/72, у₂ =7/72, у₃ =11/72, max f = – min (– f) = 22/72

Найдем v +3 = 1/f= 1:(22/72 ) = 36/11, значит цена игры равна v = 3/11.

Найдем вероятности использования чистых стратегий B_j: q_j = y_j · v

q₁= , q₂= , q₃= ,

тогда оптимальная смешанная стратегия .

Оптимальный план х₁ = 1/6, х₂ = 1/36, х₃ = 1/9. Найдем вероятности использования чистых стратегий А_i: p_i = x_i · v

p₁= , p₂= , p₃= ,

тогда оптимальная смешанная стратегия .

Таким образом, игроку А рекомендуется из 11 раз стратегию А₁ использовать 6 раз (чаще всего), стратегию А₂ – 1 раз, стратегию А₃ – 4 раза. Игроку В рекомендуется из 22 раз стратегию В₁ использовать 4 раза, стратегию В₂ – 7 раз, стратегию А₃ – 11 раз (чаще всего). Если кто-то из участников будет отклоняться от этих рекомендаций, то он ухудшит свое собственное положение.