Построение показательного закона

Для описания времени обслуживания часто используется показательный закон. Его характерной особенностью служит равенство среднего значения и среднего квадратического отклонения.

Предположим, что в результате наблюдений за длительностью обслуживания получен непрерывный вариационный ряд:

				…
				…

Здесь указаны интервалы времени и количество заявок, обслуживаемых за соответствующее время. Величина - количество клиентов.

· Считая, что длительность обслуживания подсчитывается показательному закону, составим функцию вероятностей для времени обслуживания:

1) На основе плотности вероятности

, (1.4.1)

где - интенсивность обслуживания, , .

2) На основе функции распределения

, (1.4.2)

, (1.4.3)

где - начало интервала,

- конец интервала.

Теоретические частоты находят таким образом:

1) - в случае нахождения плотности вероятности ( -длина интервала).

2) - в случае нахождения функции распределения.

· Далее по известным критериям согласия проводят проверку.

Пример 1.2.В автомагазине проведено наблюдение за временем обслуживания 60 покупателей. Получено следующее распределение (в мин.): 2, 6, 4, 11, 3, 18, 5, 21, 3, 26, 2, 35, 4, 8, 3, 14, 5, 19, 1, 24, 5, 9, 3, 15, 3, 20, 4, 8, 3, 13, 4, 9, 1, 12, 3, 14, 2, 8, 4, 13, 7, 4, 8, 3, 9, 2, 10, 4, 4, 8, 3, 9, 4, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 7. Составить ряд, разбив значения на 7 интервалов, и проверить возможность использования показательного закона.

Решение.Сгруппируем все значения

	0 – 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 – 25	25 – 30	30 – 35
	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5

· Определим среднее время обслуживания

; .

· Составим плотность вероятности по формуле (1.4.1):

= 0,137 .

· Составим функцию распределения по формуле (1.4.3):

.

а) Используем критерий Пирсона.

Таблица 1.4

Проверка расчетов по плотности вероятности

2,5		0,0973			0,0345
7,5		0,049			0,0667
12,5		0,0248
17,5		0,0125			0,25
22,5		0,0063
27,5		0,0032
32,5		0,0016
		0,1949			0,3512

Имеем , , . По таблицам Пирсона (приложение А) находим . В результате .

Вывод:гипотеза о показательном законе не отвергается.

Расчеты по показательному закону можно вести также на основе функции распределения по формуле (1.43).

Таблица 1.5

Проверка расчетов по функции распределения

0 – 5			0,5041	0,4959
5 – 10		0,5041	0,2541	0,2500			0,067
10 – 15		0,2541	0,1281	0,1260			0,125
15 – 20		0,1281	0,0646	0,0635			0,250
20 – 25		0,0646	0,0325	0,0321
25 – 30		0,0325	0,0164	0,0161
30 – 35		0,0164	0,0083	0,0081
		-	-	0,991		-	1,442

Имеем , , . По таблицам Пирсона (приложение А) находим . В результате .

Вывод:гипотеза о показательном законе не отвергается.

б) Используем критерий Колмогорова.

Таблица 1.6

Проверка закона Пуассона по критерию Колмогорова

2,5	0,50		0,097269
7,5	0,27	0,50	0,049032	0,097269	0,402731
12,5	0,12	0,77	0,024717	0,146301	0,620365
17,5	0,05	0,88	0,012459	0,171018	0,712315
22,5	0,03	0,93	0,006281	0,183478	0,749856
27,5	0,02	0,97	0,003166	0,189758	0,776908
32,5	0,02	0,98	0,001596	0,192924	0,790409
	-	1,00	-	-	-

По формуле (1.2.2) рассчитаем характеристику Колмогорова (max )

.

Вывод: вероятность =1, по данному критерию использование закона вполне допустимо.

в) Используем критерий Ястремского.

Таблица 1.7

Проверка закона Пуассона по критерию Ястремского

		0,0973	0,9027	0,0382
		0,049	0,951	0,070102
		0,0248	0,9752
		0,0125	0,9875	0,253165
		0,0063	0,9937
		0,0032	0,9968
		0,0016	0,9984
				0,361466

Таким образом, Q = 0,3614. Поскольку k = 7, Z = 0,6, то по формуле (1.2.3) имеем:

А = .

Вывод: поскольку А < 3, то по этому критерию гипотеза о законе принимается.

г) Используем критерий Романовского.

Поскольку = 1,442, q = 7 – 2 = 5, то по формуле (1.2.3) имеем

.

Вывод: величина меньше 3 – значит, в соответствии с этим критерием гипотеза о законе Пуассона не отвергается.