Построение закона Пуассона

Этот закон используется во многих процессах, и в частности, в описании потока клиентов (заявок, требований) в системах массового обслуживания. Он описывает дискретные случайные величины, т.е. величины, которые могут принимать отдельные изолированные значения из некоторого интервала.

Предположим, что в результате наблюдений за случайной величиной получен дискретный вариационный ряд:

				…
				…

где – значения случайной величины,

– частота соответствующих , .

Если предположить, что случайная величина, подчиняется закону Пуассона, то вероятности каждого значения должны определяться по формуле

, (1.3.1)

где – параметр закона, совпадающий с математическим ожиданием:

.

Другими словами, чтобы сформировать закон, необходимо вычислить по опытным значениям математическое ожидание и подставить в формулу (1.3.1).

Определяя для каждого значения вероятность , находят соответствующие теоретические частоты:

.

Пример 1.1. Было проведено 200 наблюдений (каждое длилось 2 мин.), в результате отмечалось следующее распределение покупателей:

Проверить, можно ли описать этот поток с помощью закона Пуассона (является ли он простейшим)?

Решение. Определим среднее число заявок (клиентов):

.

Сформируем функцию вероятностей Пуассона по формуле (1.3.1):

.

а) Проверим по критерию Пирсона, подходит ли этот закон. Для этого каждому значению поставим в соответствие вероятность , определим и рассчитаем :

, , и т.д.

Все расчеты проведем в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Проверка закона Пуассона по критерию Пирсона

		0,1653			1,939
		0,2975			0,067
		0,2678			1,500
		0,1607			3,125
		0,0723			0,286
		0,0260			1,800
		0,0078			2,000
		0,0026			2,000
		1,0000	-	-	12,72

Замечание.

Последнее значение равно нулю. Так как мы избегаем деления на ноль, то в этом случае разделим на .

Имеем , , . По таблицам Пирсона (приложение А) находим . В результате .

Вывод:расчетное и критическое значения достаточно близки, т.к. расчетное значение все же больше критического, то возможность применения закона сомнительна.

б) Проверим по критерию Колмогорова. Предварительно найдем фактические ( ) и теоретические вероятности ( ), затем сформируем эмпирическую ( ) и теоретическую (F) функции распределения (таблица 1.2) и найдем их разности.

Таблица 1.2

Проверка закона Пуассона по критерию Колмогорова

	0,205		0,165
	0,31	0,205	0,298	0,165	0,04
	0,225	0,515	0,268	0,463	0,052
	0,11	0,74	0,161	0,731	0,009
	0,08	0,85	0,072	0,892	0,042
	0,04	0,93	0,026	0,964	0,034
	0,02	0,97	0,007	0,99	0,02
	0,01	0,99	0,003	0,997	0,007
	-		-		-

По формуле (1.2.2) рассчитаем характеристику Колмогорова

.

Вывод: вероятность =1, по данному критерию использование закона вполне допустимо.

в) Оценим закон Пуассона по критерию Ястремского. Для нахождения величины Q, для чего построим вспомогательную расчетную таблицу 1.3.

Таблица 1.3

Вспомогательная расчетная таблица

		0,165	0,835	2,323
		0,298	0,702	0,095
		0,268	0,732	2,049
		0,161	0,839	3,725
		0,072	0,928	0,308
		0,026	0,974	1,848
		0,007	0,993	2,014
		0,003	0,997	2,006
				14,368

Таким образом, Q = 14,368. Поскольку k = 8, Z = 0,6, то по формуле (1.2.3) имеем:

А = .

Вывод: поскольку А < 3, то по этому критерию гипотеза о законе принимается.

г) Проверим пригодность закона Пуассона по критерию согласия Романовского.

Поскольку = 12,72, q = 8 – 2 = 6, то по формуле (1.2.3) имеем

.

Вывод: величина меньше 3 – значит, в соответствии с этим критерием гипотеза о законе Пуассона не отвергается.