Построение нормального закона

Для формирования нормального закона имеется две функции:

· Плотность вероятности

,

где , - функция четная, значения функции – находят по таблицам (приложение В);

- среднее квадратическое отклонение: ,

где , .

, (1.5.1)

, – длина интервала.

· Функция вероятностей

,

где - функция нечетная, значения функции находят по таблицам (приложение Г)

, , - начало интервала, - конец интервала.

, (1.5.2)

.

Пример 1.3.В результате измерения диаметров у 150 деталей получен ряд отклонений от номинального размера. Проверить гипотезу о том, что данные отклонения подчиняются нормальному закону.

Отклонение от номинала	Частота
24,5 – 27,5
27,5 – 30,5
30,5 – 33,5
33,5 – 36,5
36,5 – 39,5
39,5 – 42,5
42,5 – 45,5
45,5 – 48,5
48,5 – 51,5
51,5 – 54,5

Решение.Для нахождениясреднего квадратического отклонения составим вспомогательную расчетную таблицу.

Таблица 1.8

Вспомогательная расчетная таблица

			-

Имеем , .

Тогда .

Сформируем функции

1) По формуле (1.5.1) - .

2) По формуле (1.5.2) - .

Таблица 1.9

Расчеты по плотности вероятности

		-2,52	0,003179			0,50
		-1,95	0,011365			0,20
		-1,38	0,029362			0,00
		-0,81	0,054808			0,12
		-0,23	0,074101			0,88
		0,34	0,071814			0,00
		0,91	0,050291			1,78
		1,48	0,026594			0,33
		2,06	0,009116			1,00
		-	-		-	4,81

Имеем , , . По таблицам Пирсона (приложение А) находим . В результате .

Вывод: гипотеза о нормальном законе не отвергается.

Таблица 1.10

Расчет по функции вероятности

24,5–27,5	-2,81	-2,24	-0,4976	-0,4875	0,0101
27,5–30,5	-2,24	-1,66	-0,4875	-0,4515	0,036
30,5–33,5	-1,66	-1,09	-0,4515	-0,3621	0,0894
33,5–36,5	-1,09	-0,52	-0,3621	-0,1985	0,1636			0,08
36,5–39,5	-0,52	0,05	-0,1985	0,0199	0,2184			0,696
39,5–42,5	0,05	0,63	0,0199	0,2357	0,2158
42,5–45,5	0,63	1,20	0,2357	0,3849	0,1492
45,5–48,5	1,20	1,77	0,3849	0,4616	0,0767			0,5
48,5–51,5	1,77	2,34	0,4616	0,4909	0,0293			1,5
	-	-	-	-	-		-	5,776

Имеем , , . По таблицам Пирсона (приложение А) находим . В результате .

Вывод: гипотеза о нормальном законе не отвергается.

б) Используем критерий Колмогорова.

Таблица 1.11

Проверка закона Пуассона по критерию Колмогорова

	0,02		0,003179
	0,04	0,02	0,011365	0,003179	0,016821
	0,09	0,06	0,029362	0,014544	0,045456
	0,15	0,15	0,054808	0,043906	0,102761
	0,19	0,30	0,074101	0,098714	0,201286
	0,21	0,49	0,071814	0,172815	0,313852
	0,19	0,70	0,050291	0,244629	0,455371
	0,09	0,89	0,026594	0,29492	0,598413
	0,01	0,99	0,009116	0,321514	0,665153

По формуле (1.2.2) рассчитаем характеристику Колмогорова

.

Вывод: вероятность =1, по данному критерию использование закона вполне допустимо.

в) Используем критерий Ястремского.

Таблица 1.12

Проверка закона Пуассона по критерию Ястремского

		0,003179	0,996821	4,012757
		0,011365	0,988635	0,202299
		0,029362	0,970638
		0,054808	0,945192	0,169278
		0,074101	0,925899	0,818206
		0,071814	0,928186
		0,050291	0,949709	1,648102
		0,026594	0,973406	0,34244
		0,009116	0,990884	1,0092
				8,202281

Таким образом, Q = 8,2022. Поскольку k = 9, Z = 0,6, то по формуле (1.2.3) имеем:

А = .

Вывод: поскольку А < 3, то по этому критерию гипотеза о законе принимается.

г) Используем критерий Романовского.

Поскольку = 5,776, q = 9 – 2 = 7, то по формуле (1.2.3) имеем

.

Вывод: величина меньше 3 – значит, в соответствии с этим критерием гипотеза о законе Пуассона не отвергается.