Теоретические сведения

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнениями множественной регрессии:

. (1.28)

Здесь мы имеем дело уже не с линией регрессии, а с поверхностью регрессии при k=2и с гиперповерхностью при k>2. В общем случае, как указывалось выше, эту поверхность называют поверхностью отклика.

Исходный статистический материал представляют в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

№ опыта	X₁	X₂	X₃	………	X	Y
. . . N	X₁₁ X₁₂ X₁₃ . . . X_1N	X₂₁ X₂₂ X₂₃ _. _. _. X_2N	X₃₁ X₃₂ X₃₃ _. _. _. X_3N		X_k1 X_k2 X_k3 _. _. _. X_kN	Y₁ Y₂ Y₃ _. _. _. Y_N

Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

; ; , (1.29)

где y_i⁰, x₁_i⁰, x₂_i⁰ – нормированные значения соответствующих факторов,

- средние значения факторов,

s_y, s_x₁, s_x₂ – среднеквадратичные отклонения.

; ; .

В таблице 1.3 приведен исходный статистический материал в новом масштабе.

Таблица 1.3

№ опыта				…………..
. . . N	X⁰₁₁ X⁰₁₂ X⁰₁₃ . . . X⁰_1N	X⁰₂₁ X⁰₂₂ X⁰₂₃ _. _. _. X⁰_2N	X⁰₃₁ X⁰₃₂ X⁰₃₃ . . . X⁰_3N		Y⁰₁ Y⁰₂ Y⁰₃ _. _. _. Y⁰_N

В новом масштабе имеем:

; . (1.30)

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен

(1.31)

Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

. (1.32)

Коэффициенты уравнения (1.32) находятся из условия:

Условия минимума функции S определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:

; … (1.33)

и система нормальных уравнений имеет вид:

. (1.34)

Умножим левую и правую части уравнений на . В результате при каждом коэффициенте получается, согласно (1.34), выборочный коэффициент корреляции r*. Принимая во внимание, получаем систему нормальных уравнений:

(1.35)

Следует иметь в виду, что . Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы 1.3.

Решив систему (1.35), рассчитывают коэффициент множественной корреляции R:

. (1.36)

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии:

В случае выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки , тем сильнее преувеличивается сила связи, оцениваемая коэффициентом корреляции. Формула для коррекции:

, (1.37)

где R’ – скорректированное значение коэффициента множественной корреляции; l – число коэффициентов уравнения регрессии.

Для практического использования уравнения (1.32) необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:

. (1.38)