Полиномиальное приближение функций

В тех случаях, когда линейное приближение оказывается неудовлетворительным, т.е. дает значительное отклонение расчетной зависимости от аппроксимируемой, используется приближение полиномами второй степени и выше (m>2) вида:

(1.21)

Рассмотрим вывод матричной формулы для определения коэффициентов многочлена второй степени (m=2).

Определение параметров а₀, а₁, а₂ по методу наименьших квадратов сводится к нахождению минимума критерия (1.3) как функции трех переменных:

(1.22)

Необходимые условия минимума этого критерия имеют вид:

(1.23)

или

(1.24)

Регрессионный анализ проводится после того, как определен вид уравнения регрессии и найдены значения его коэффициентов. Этот анализ состоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициентов уравнения регрессии и устанавливается адекватность уравнения.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости остаточная дисперсия определяется следующим образом:

. (1.25)

Тогда адекватность принятого уравнения оценивается сравнением и дисперсии относительно среднего :

(1.26)

по критерию Фишера

. (1.27)

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное:

, ,

для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы, тем эффективнее уравнение регрессии.

В MathCAD табличное значение критерия Фишера с учетом принятой доверительной вероятности γ и чисел степеней свободы определяется оператором qF(γ, k1, k2).

Этапы построения уравнений приведены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Этапы построения уравнений

Пример (п. 7-8)

1. Проверка адекватности выбранного уравнения

Выбираем в качестве приближения параболическую зависимость.

Найдем по формуле (1.17) корреляционное отношение:

Полученное значение позволяет сделать вывод о высокой тесноте связи между параметрами.

По формулам (1.25)-(1.27) оцениваем адекватность принятого уравнения.

Определяем табличное значение критерия Фишера: или находим по таблице в приложении 1.

18,267>2,637, т. е. , следовательно, модель адекватна.

2. Построение эмпирической линии и графика по уравнению .

3. Найдем относительную погрешность уравнения регрессии.

Относительная погрешность=0,048.

Расчет относительной погрешности для зависимости

Таким образом, в работе получена математическая модель по результатам пассивного эксперимента. Уравнение адекватно, так как критерий Фишера превышает табличное значение.