Порядок выполнения

1. Ввод исходных данных, построение поля корреляции.

2. Выбор вида уравнения регрессии.

3. Преобразование данных к линейному типу зависимости.

4. Получение параметров уравнения регрессии.

5. Обратное преобразование данных и определение суммы квадратов отклонений найденных значений функции от заданных.

6. Вывод результатов.

7. Проверка адекватности

Проверка адекватности уравнений осуществляется путем расчета остаточной дисперсию и дисперсии относительно среднего . Если критерий Фишера (1.27) будет превышать табличное (приложение 1, , , ), то полученное уравнение адекватно.

8. Затем определяется относительная погрешность уравнений регрессии.

Пример (п.1-6)

Для построения поля корреляции и регрессионного анализа приведены исходные данные в виде следующей таблицы.

Задаем исходные данные в следующем виде (в программе Mathcad):

Обозначения: X – входной параметр; Y1 – выходной параметр.

Разделим все множество X на 5 интервалов и на каждом интервале найдем среднее значение Y:

,

где – число точек в интервале .

Полученные значения запишем в виде:

y11 – средние значения для зависимости.

1. Проведем анализ зависимости у11.

1.1. По исходным данным получим поле корреляции Y1=f(X) и по средним точкам построим ломаную (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Экспериментальные точки и эмпирическая линия регрессии

1.2. Определим вид уравнения регрессии и параметры уравнения регрессии.

Определим коэффициенты для линейной зависимости:

1 способ: с помощью функции line(x,y)

2 способ: по формуле (1.7)

Как видим, коэффициенты совпадают.

Следовательно, линейная зависимость имеет следующий вид:

Y=7,982*10³+2,109X.

Определим коэффициенты для полиномиальной зависимости.

1 способ: по формуле (1.24)

2 способ: с помощью встроенной функции regress(x,y,n), где n – порядок полинома. Примем n=2.

Найденные коэффициенты совпадают.

Параболическая зависимость имеет следующий вид:

Y=1,537*10^-3*X²-4,8X+1,397*10⁴.

Определим коэффициенты для гиперболической зависимости.

1 способ: по формулам (1.16) и (1.24)

2 способ: по формуле (1.16) и функции line(x,y)

Гиперболическая зависимость имеет следующий вид:

Y=1,452*10⁴-2,828*10⁶/X.

Определим коэффициенты для степенной зависимости.

Применяем формулы (1.14) и (1.24).

a₀= ; a₁=0,14.

Степенная зависимость имеет вид:

Y=4,316*10³*X^0,14.

1.3. Определим суммы квадратов отклонений вычисленных значений каждой функции от заданных Y1.

Линейная зависимость

Y1

Параболическая зависимость

Гиперболическая зависимость

Степенная зависимость

Сравним полученные результаты.

Сумма квадратов отклонений для линейной функции ε= , для параболической ε= , для гиперболической ε= , для степенной ε= . Сравнивая качество приближений, находим, что приближение в виде параболической зависимости в данном случае предпочтительнее.