П2.2.1. Понятие о многомерном корреляционном анализе

Пусть имеется многомерная нормальная совокупность с m признаками . В этом случае взаимозависимость между признаками можно описать корреляционной матрицей

где парные коэффициенты корреляции.

Например, имеется n наблюдений над m-мерной случайной величиной (см. табл. П2.2.1.1).

Оценка парного коэффициента в этом случае принимает следующий вид:

Корреляционная матрица не дает полного описания зависимости между признаками. Для расширения и углубления этого описания вводится понятие частного коэффициента корреляции l-го порядка.

Таблица П2.2.1.1

Координата	Наблюдения	Среднее
			...	i	...	n	значение
...   j   ...   k ...   m

Определение. Коэффициент корреляции между двумя признаками при фиксированном значении l из m-2 оставшихся признаков m-мерной совокупности называется частным коэффициентом корреляции l-го порядка.

Рассмотрим более подробно структуру частного коэффициента корреляции на примере системы из трех признаков

Частный коэффициент корреляции первого порядка для признаков и при фиксированном значении выражается через парные коэффициенты корреляции и имеет вид (без доказательства):

(П2.2.1.1)

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции, изменяется от 1 до -1.

В общем виде, когда система состоит из m признаков, частный коэффициент корреляции l-го порядка может быть найден из корреляционной матрицы.

Если l = m-2, то рассматривается матрица порядка m.

Если l < m-2, то рассматривается подматрица порядка l+2, составленная из элементов матрицы , которые отвечают индексам коэффициента частной корреляции.

Например, корреляционная матрица системы из пяти признаков имеет вид:

Для определения частного коэффициента 2-го порядка, например, , следует использовать подматрицу 4-го порядка, вычеркнув из матрицы третью строку и третий столбец, т.к. признак не рассматривается.

В общем виде формулу частного коэффициента корреляции l-го порядка (l = m-2) можно записать в виде:

, (П2.2.1.2)

где алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу число , где определитель подматрицы матрицы , образованной вычеркиванием строки j и столбца k.

алгебраическое дополнение к элементам и .

Покажем, что формула (П2.2.1.1) является частным случаем формулы (П2.2.1.2).

Имеем корреляционную матрицу в виде:

.

Найти .

Но

То есть что и требовалось.

Пример [15, c.243].

Дана таблица выборочных парных коэффициентов корреляции размерности m = 4 (n = 50).

;

Вычислить оценки частных коэффициентов корреляции первого и второго порядков

;

Вычеркиваем четвертый столбец и четвертую строку, т.к. они не фигурируют в обозначении . Получим подматрицу:

;

;

;

.

Вычеркнув третью строку и столбец, получим:

;

;

-0,458.