П.2.1. Ранговая корреляция

Потребность в специальном инструментарии для анализа связей ранговых признаков обусловлена их спецификой, основными моментами которой являются:

· искажения, привносимые рангами в интуитивные представления о степенях различия между рангами,

· общность величин дисперсий ранговых признаков.

Использование последнего момента позволило построить по аналогии с коэффициентом корреляции для номинальных признаков коэффициенты корреляции для ранговых признаков. Известны коэффициенты ранговой корреляции Спирмена - и Кендэла - .

Рассмотрим коэффициент корреляции для номинальных признаков .

Введем в рассмотрение центрированные величины

Тогда среднеквадратичные отклонения будут удовлетворять соотношениям

Для центрированных номинальных признаков коэффициент корреляции примет вид

.

Ранговая корреляция Кендэла

Рассмотрим ситуацию, когда два эксперта упорядочили по своему предпочтению объектов.

Пусть – результат экспертизы первого эксперта,

– результат экспертизы второго эксперта,

здесь и – ранги (номера предпочтения от единицы до ).

Рассмотрим сочетания пар , построенных нижеследующим образом:

Количество таким образом построенных пар равно половине количества элементов прямоугольной матрицы: .

Введем различие между объектами

Аналогичные действия проделаем с последовательностью , причем порядок перебора пар должен повторять порядок перебора пар .

Например:

2 4		1 5
2 5		1 3
2 1	-1	1 4		-1
2 3		1 2
4 5		5 3	-1	-1
4 1	-1	5 4	-1
4 3	-1	5 2	-1
5 1	-1	3 4		-1
5 3	-1	3 2	-1
1 3		4 2	-1	-1
			Сумма	2

– коэффициент ранговой корреляции Кендэла.

В примере

.

Ранговая корреляция Спирмена-

Рассмотрим другую меру различия между объектами.

Пусть

Так как ранги – числа последовательности натурального ряда, то

Доказательство:

с другой стороны это

что и требовалось.

значит

аналогично .

Пусть ,

Тогда

.

- коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Вспомним предыдущий пример: ,

		-1		-3

.

В данном примере коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендэла совпали. Но обычно этого нет.

C:/OlesDoc/AnalMnSv

П.2.2. Анализ множественных связей

результирующий признак.

предикторные переменные (совокупность других, кроме результирующего признака, переменных).

Если, зафиксировать «значение» , то из всех возможных способов определения прогнозного (аппроксимирующего) значения для неизвестного значения наилучшим (в смысле минимума среднего квадрата ошибки прогноза), как оказалось, является условное среднее значение анализируемого результирующего показателя , т.е. величина , где усреднение производится при условии, что объясняющие переменные зафиксированы на уровне .