П.1.4. Теорема о линейной независимости векторов

Лемма 1: Если в матрице размера n n хотя бы одна строка (столбец) равна нулю, то строки (столбцы) матрицы являются линейно зависимыми.

Доказательство: Пусть нулевой будет первая строка, тогда

где a₁ 0. Что и требовалось.

Определение: Матрица, у которой расположенные ниже главной диагонали элементы равны нулю, называется треугольной:

а_ij= 0 , i>j.

Лемма 2: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Доказательство нетрудно провести индукцией по размерности матрицы.

Теорема о линейной независимости векторов.

а)Необходимость: линейно зависимы D=0 .

Доказательство: Пусть линейно зависимы, j= ,

то есть, существует a_j, не все равные нулю, j= , что a₁А₁+ a₂А₂+ ... a_nA_n= , А_j – столбцы матрицы А. Пусть, например, a_n¹0.

Введем .

Имеем a_j^*= a_j / a_n, j£ n-1a₁^* А₁+ a₂^* А₂+ ... a_n-1^* A_n-1+ A_n = .

Заменим последний столбец матрицы А на

А_n^*= a₁^* А₁+ a₂^* А₂+ ... a_n-1 A_n-1+ A_n= .

Согласно выше доказанному свойству определителя (он не изменится, если в матрице к любому столбцу прибавить другой, умноженный на число) определитель новой матрицы равен определителю исходной. Но в новой матрице один столбец нулевой, значит, разлагая определитель по этому столбцу, получим D=0, что и требовалось доказать.

б)Достаточность: Матрицу размера n n с линейно независимыми строками всегда можно привести к треугольному виду с помощью преобразований, не меняющих абсолютной величины определителя. При этом из независимости строк исходной матрицы следует неравенство нулю её определителя.

1. Если в матрице размера n n с линейно независимыми строками элемент а₁₁ равен нулю, то на первое место следует переставить столбец, у которого элемент а_1j ¹ 0. Согласно лемме 1 такой элемент найдется. Определитель преобразованной матрицы при этом может отличаться от определителя исходной матрицы только знаком.

2. От строк с номерами i>1 отнимем первую строку, умноженную на дробь a_i1/a₁₁. При этом в первом столбце строк с номерами i>1 получатся нулевые элементы.

3. Начнем вычислять определитель полученной матрицы разложением по первому столбцу. Посколькув нем все элементы, кроме первого, равны нулю,

D_нов= a₁₁^нов (-1)¹⁺¹ D₁₁^нов,

где d₁₁^нов– определитель матрицы меньшего размера.

Далее для вычисления определителя D₁₁ повторяем пункты 1, 2, 3 до тех пор, пока последний определитель не окажется определителем от матрицы размера 1 1. Поскольку п.1 меняет только знак определителя преобразуемой матрицы, а п.2 вообще не меняет величины определителя, то, с точностью до знака, в итоге получим определитель исходной матрицы. При этом, поскольку из-за линейной независимости строк исходной матрицы п.1 всегда выполним, все элементы главной диагонали получатся неравными нулю. Таким образом, итоговый определитель согласно изложенному алгоритму равен произведению ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому и определитель исходной матрицы не равен нулю. Что и требовалось доказать.

Приложение 2

LSIBAGS\TREND\Kor_rang