П1.2. Свойства определителя матрицы

1. Абсолютная величина определителя матрицы не изменится, если в матрице поменять местами строки или столбцы.

Поскольку определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной, достаточно провести доказательство для строк. Имеем

=

=a₁₁(-1)¹⁺¹D₁₁+a₁₂(-1)¹⁺²D₁₂+...+a_1n(-1)¹⁺ⁿD_1n= D. (П1.2.1)

Переставим 1-ю строку так, чтобы она стала i-ой, раздвинув i-ю и i+1-ю строки. Вычислим определитель новой матрицы разложением по перенесенной строке:

=

= a₁₁(-1ⁱ⁺¹)d₁₁+ a₁₂(-1ⁱ⁺²)d₁₂+...+ a_1n(-1)ⁱ⁺ⁿd_1n=

= a₁₁(-1^i-1)(-1)¹⁺¹D₁₁+a₁₂(-1^i-1)(-1)¹⁺²D₁₂+...+a_1n(-1^i-1)(-1)¹⁺ⁿD_1n=

= (-1)^i-1D= = D^*. (П1.2.2)

Нетрудно видеть, что при i нечетном определители (П1.2.1) и (П1.2.2) совпадают, а при i четном D^*= -D. Что и требовалось.

2. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Доказательство. Пусть одинаковые строки являются нижними. И будем вычислять определитель разложением по верхней строке через определители меньших порядков, пока не дойдем до определителей, составленных из нижних двух строк. Все они (составленные из двух нижних строк) окажутся равными нулю:

а_n-1j а_nk -а_nj а_n-1k = 0, так как а_{n-1j =} а_nj и а_{nk =} а_n-1k..

3. Определитель матрицы не изменится, если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец) этой матрицы, умноженную (ный) на действительное число.

Доказательство: Не уменьшая общности, предположим, что процедура проделана с первой строкой:

=

= =

=l + =

4. Определитель суммы матриц не равен сумме определителей этих матриц: + .

Доказательство:

+ или 3+ 3 8.

5. Если строку (столбец) матрицы умножить на действительное число , то и определитель матрицы умножится на это число .

Доказательство легко получить разложением определителя по строке (столбцу), умноженной (му) на указанное число.