Определения

Пусть А={a_ij}, B={b_ij} – матрицы размерности n n, – номер строки, – номер столбца.

Тогда A+B =^df {a_ij+b_ij},

lА =^df {la_ij},

AB = C= {c_ij}, где c_ij = ^df a_ik b_kj.

Нетрудно видеть, что матрица I=

обладает свойством : A I= A, I A= A.

Такая матрица I называется единичной.

Замечание: В общем случае AB¹ BA.

Рассмотрим матрицу A= (a_ij) размера n n, состоящую из элементов а_ij.

Алгебраическим дополнением d_ij элемента a_ij называется величина, определяемая соотношением d_ij= (-1)^i+j D_ij, где D_ij – определитель матрицы, получаемой из А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определитель квадратной матрицы А – действительное число, которое может быть вычислено разложением по любой строке и любому столбцу:

D= det (A) = = a_ik d_ik= a_ik d_ik, то есть, вычисляется через алгебраические дополнения и, соответственно, через определители меньшего порядка.

Определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

Обозначается определитель матрицы двумя вертикальными чертами, заключающими между собой матрицу:

D = det A= .

Например:

= 1· - 2· + 3· =

= 1×(6×3-4×1)- 2×(5×3-4×2)+ 3×(5×1-6×2) = -21

Данный определитель вычислен разложением по верхней строке и т.д.

Для корректности приведенного определения необходимо показать, что определитель матрицы, вычисляемый разложением по какому-либо столбцу или строке, не зависит от выбора столбца или строки.

Пусть – алгебраическое дополнение второго уровня, т.е. , где – определитель матрицы, полученной из вычеркиванием строк и , и столбцов и .

Представим определитель матрицы разложением по столбцам и .

В первом случае получим

, (П1.1.1)

во втором –

. (П1.1.2)

В свою очередь, представим определитель разложением по столбцу

и подставим результат в (П1.1.1):

(П1.1.1’)

Аналогично, представим определитель разложением по столбцу

и подставим результат в (П1.1.2):

(П1.1.2’)

Сравнивая правые части (П1.1.1’) и (П1.1.2’), видим, что они отличаются только порядком суммирования. Поскольку же для конечного числа слагаемых порядок суммирования безразличен, имеем

.

Этим удалось показать, что определитель матрицы, вычисленный разложением по какому-либо столбцу, не зависит от выбора столбца, иными словами, показать корректность приведенного определения определителя матрицы.

Транспонированной А^’ матрицей называется матрица, получаемая из матрицы А поворотом вокруг главной диагонали, то есть при транспонировании элементы a_ij и a_ji меняются местами, , .

Представим определитель матрицы разложением по столбцу

,

а определитель матрицы , т.е. транспонированной к , разложением по строке

.

Но, по определению транспонированной матрицы, и , поэтому , т.е. определители исходной и транспонированой матриц равны.

Присоединенной А^* матрицей называется матрица, получаемая из транспонированной заменой каждого элемента на его алгебраическое дополнение:

A^*= .

Обратной А^-1 матрицей называется матрица, при умножении на которую матрицы А получается единичная матрица:

А А^-1= I = .

Теорема. Обратная матрица А^-1 получается делением присоединенной матрицы А^* на определитель D исходной матрицы:

А^-1 = (1/ D) · А^*.

Доказательство:

А·А^*= ×

× =

= . Тогда А = (1/D) A A^*=

= (1/D) = ,

что и требовалось.