Упражнение

9.2.1. Анализ значимости фактора. Решить предыдущую задачу 9.1.1. при N=0, то есть без придания ей индивидуальности.

Прежде, чем приступать к решению задачи, приведем краткие сведения о том, что представляет собой математическая модель однофакторного дисперсионного анализа и какова схема вычислений по этой модели.

Пусть дана случайная величина и не случайная величина , которая может принимать значения . Величину будем называть фактором, а – градациями или уровнями фактора . Математическая модель однофакторного дисперсионного анализа записывается в виде:

, (9.2.1)

где – случайная величина, - вклад градации в изменчивость , - среднее значение , - нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и постоянной дисперсией. В задаче – объем складской реализации, – фактор «уровень механизации», у которого пять градаций. Будем предполагать, что даны независимых реализаций случайной величины , при значении фактора равном , которые обозначим через ; независимых реализаций при , которые обозначим через ; и т.д., наконец, даны реализаций , при . Общее число реализаций обозначим через N, т.е. :

.

Имеем .

Введем обозначения:

, , (9.2.2)

где - Выборочное среднее величины при i-ой градации фактора (групповое среднее), m – общее среднее.

Проверка существенности влияния фактора на случайную величину сводится к проверке справедливости гипотезы о равенстве групповых средних, которая может быть формально записана в виде:

(9.2.3)

Если гипотеза справедлива (принимается), т.е. групповые средние случайной величины , при различных градациях фактора отличаются незначительно, то влияние фактора на признается несущественным, а имеющиеся фактические отличия в средних объясняются действием каких-то случайных колебаний. Если же гипотеза отвергается (несправедлива), т.е. существуют по крайней мере два номера , для которых и отличаются значительно, то влияние фактора на признается существенным.

В качестве проверочной статистики для проверки гипотезы используется случайная величина , где

, , ,

,

Случайная величина при справедливости гипотезы удовлетворяет распределению Фишера (F – распределению) с ( ) степенями свободы.

Проверка справедливости осуществляется следующим образом. Задается уровень доверия или уровень значимости , который полагают равным достаточно малому положительному числу (0,1; 0,05 и т.п.) и который количественно характеризует степень риска получения неверного результата. Далее, по значениям из таблицы распределения Фишера определяется квантиль распределения Фишера , где степени свободы соответственно числителя и знаменателя дроби . После этого осуществляется проверка выполнения неравенства:

. (9.2.4)

Если неравенство (9.2.4) выполняется, то гипотеза отвергается и делается вывод о существенном влиянии фактора на величину . В противном случае, т.е. при выполнении противоположного неравенства, гипотеза принимается и делается вывод о несущественном влиянии фактора на .

Для более наглядного представления изложенного метода проверки существенности влияния фактора на исследуемую случайную величину можно составить таблицу, отражающую основные элементы однофакторного дисперсионного анализа (см. табл. 9.2.1).

Решение задачи 9.2.1 проведем в соответствии с вычислительной схемой, состоящей из четырех этапов. На первом этапе исходные данные записываются в табличной форме так, как это сделано в первой половине табл. 9.2.2. Отметим, что при составлении расчетной таблицы для упрощения вычислений все значения можно уменьшать (или увеличивать) на одно и то же число, так как значение от этого не изменится.

Таблица 9.2.1

Основные элементы однофакторного дисперсионного анализа.

Источник изменчивости	Сумма квадратов	Степени свободы	Средние квадраты
Фактор
Случайное воздействие
Сумма			–

Таблица 9.2.2

Расчетная таблица однофакторного дисперсионного анализа.

Максимальное число реализаций	Градации фактора
	3,0 2,9 3,2 3,3 3,0 3,2	2,7 3,2 2,7 2,8 2,9 2,7	2,9 3,0 3,0 3,0 2,6 2,8	3,7 3,3 3,5 3,3 3,0 3,3	3,0 3,2 3,1 3,6 2,8 3,2
	18,6	17,0	17,3	20,1	18,9
	3,1	2,83	2,88	3,35	3,15
	57,78	48,36	50,01	67,61	59,89
	0,12	0,25	0,186	0,275	0,355

На втором этапе вычисляются и заносятся во вторую половину табл. 9.2.2 значения:

, , , ,

а также определяются:

, .

Таким образом,

;

; ; ; ;

;

;

; ; ;

;

; ; ; ;

;

;

; ; ;

Заносим полученные значения в табл. 9.2.2. Далее определяем:

;

;

На третьем этапе находим значения:

, , , , ,

.

Таким образом:

; ;

;

;

;

.

На четвертом этапе задаем уровень значимости , находим из таблиц распределения Фишера квантиль и проверяем выполнение неравенства:

.

Пусть , тогда =

и делается вывод о существенном влиянии фактора на случайную величину , т.е. влияние фактора «уровень механизации складских работ» на объем складской реализации существенно.

Необходимо отметить, что существенность (или не существенность) влияния фактора на случайную величину в значительной мере зависит от уровня доверия , т.к. с уменьшением , т.е. с уменьшением степени риска получения неверного результата, значение увеличивается. Следовательно, может оказаться, что при выполняется неравенство , т.е. влияние фактора признается существенным, а при , где , выполняется неравенство , т.е. влияние фактора признается несущественным.

Литература

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. – М: Финансы и статистика, 1983.

2. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. – М: Финансы и статистика, 1985.

3. Бауэр Р., Коллар Э., Тан В. Управление инвестиционным проектом: опыт IBM: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1995.

4. Бахтин А.Е., Высоцкий Л.Л., Савиных В.Н. Сборник задач по ма­тематическому программированию. Часть 1. – Новосибирск: НИНХ, 1994.

5. Бахтин А.Е., Высоцкий Л.Л., Савиных В.Н. Сетевые модели планирования и управления. – Новосибирск: НИНХ, 1992. – 36 с.

6. Беренс В., Хавранек П.М. Руководство по оценке эффективности инвестиций: Пер. с англ. перераб. и дополн. изд. – М.: АОЗТ “Интер Экспорт”, “ИНФРА-М”, 1995.– 528 с.

7. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами: Пер. с англ. / Гл. ред. серии Соколов Я.В. – М.: Финансы и статистика, 1996.– 800 с.

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.

9. Высоцкий Л.Л., Высоцкая Н.В., Руди В.А. Балансовые экономические модели. – Новосибирск: НИПКиПРО, 1998. – 41 с.

10. Высоцкий Л.Л. Графический способ решения задачи линейного программирования. – Новосибирск: НИПКиПРО, 1998. – 23 с.

11. Л.Л.Высоцкий. Симплекс-метод. Метод потенциалов. Теория игр и линейное программирование. – Новосибирск: НИНХ, 1994.

12. Высоцкий Л.Л. Управление проектами: традиции и новизна. – Новосибирск: СибАГС, 2000. – 291 с.

13. Высоцкий Л.Л., Гаврюшенко А.Ф., Бойко М.Е. Моделирование в менеджменте / Часть 5: Марковские процессы. Системы массового обслуживания. – Новосибирск, СНИ, 2001. – 60 с.

14. Высоцкий Л.Л., Гаврюшенко А.Ф., Микалуцкая Т.Г., Бойко М.Е. Моделирование в менеджменте / Часть 1: Корреляционный и регрессионный анализ. Дисперсионный анализ. – Новосибирск, СНИ, 2001. – 60 с.

15. Глазьев С.Ю. Теория долгосрочного технико-экономического разви­тия. — М.: Владар,1993.

16. Иванова В.М., Калинин В.Н. и др. Математическая статистика. – М: ВШ, 1981. – с.371.

17. Кендэл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. – М: Наука, 1973.

18. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. – М.: Советское радио, 1971. – 520 с.

19. Тернер Д. Вероятность, статистика и исследование операций. – М.: Статистика, 1976. – 432 с.

20. Управление организацией / Под ред. А.Г.Поршнева и др. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 669 с.

21. Холт Роберт Н., Барнес Сет Б. Планирование инвестиций: Пер. с англ. – М: “Дело Лтд”, 1994. – 120 с.

Приложения

Приложение 1