Упражнения

6.2.1.

На склад завода поступает сталь, годовая потребность в которой составляет =30000 тонн. Металл доставляется на завод ж/д транспортом, партиями фиксированного размера . Предполагается, что

1) каждая партия доставляется на завод сразу (мгновенная поставка);

2) неудовлетворение спроса завода в стальном прокате не допускается;

3) поступление стали со склада завода в производственные цеха осуществляется равномерно в течение года;

4) = 0,9 – переменные расходы доставки груза, приходящиеся на единицу измерения, включают расходы на топливо (электроэнергию), смазку, и ряд других, тыс.руб/т;

5) = 9 – накладные расходы завода (организационные издержки) за одну поставку, не зависящие от размера партии, включают расходы на оформление поставки и ряд других, тыс.руб.;

6) =0,05 – стоимость хранения одной тонны стали в течении суток на складе, тыс.руб/т∙сут;

Определить:

· оптимальный размер поставки и отвечающие ему суммарные издержки, а также – оптимальный период между поставками.

· определить на сколько процентов увеличатся суммарные издержки, если размер партии по сравнению с оптимальным изменится до такого размера, который кратен транзитной норме, равной для стали 60 тоннам;

· построить график изменения запасов для оптимального размера партии.

Решение

Согласно условиям график изменения запасов стали на складе завода при некотором фиксированном будет иметь вид, представленный на рис. 6.2.1.1, где на оси абсцисс откладывается время t (в днях), а на оси ординат – размер запаса стали на складе завода (в тоннах). Начало координат соответствует началу года, – длина интервала между двумя поступлениями стали на склад, = 365 (дней) – продолжительность периода планирования.

Рис. 6.2.1.1. График изменения запасов

Пусть

– количество поставок,

– суммарные издержки по доставке и хранению одной поставки.

Издержки по доставке и хранению одной поставки включают три составляющих: издержки хранения, накладные расходы и переменные расходы:

.

Количество поставок . (6.2.1.1)

Тогда суммарные издержки по доставке и хранению за год составят

=

= =

= .

То есть, суммарные издержки по доставке и хранению за год являются функцией от объема поставки:

. (6.2.1.2)

Варьируя объем поставки , получим следующие затраты (табл. 6.2.1.1, рис. 6.2.1.2).

Таблица 6.2.1.1

Решение упражнения 6.2.1 в Excel

Рис. 6.2.1.2. Зависимости затрат доставки и хранения от объема поставки

Задача состоит в нахождении точки минимума функции (6.2.1.2) и решается на основе применения необходимых условий экстремума, т.е. задача сводится к решению уравнения

и проверки того, является ли полученное таким путем решение точкой минимума.

Имеем

,

из которого получаем

. (6.2.1.3)

Подставляя в полученное выражение исходные данные, получим

(т). (6.2.1.3’)

Оптимальный период между поставками из соотношения (6.2.1.1) равен

.

Подставляя исходные данные и найденный результат для оптимального размера поставки, получим

= 2,09 (сут.).

Практически удобно будет задать интервал = 2. Ближайшие варианты размеров поставки, кратные транзитной норме для стали, есть значения 120 и 180. Суммарные издержки, отвечающие значению (6.2.1.3’), согласно выражению (6.2.1.2) составляют 30139 тыс. руб. Значения издержек, соответствующие транзитным нормам, соответственно, равны 30345 и 30142 (см. табл.6.2.1.1). Очевидно, что следует выбрать последнее, как наиболее близкое к теоретическому оптимуму. Рассогласование с теоретическим значением составит

или 0,01%.

6.2.2.

В условиях задачи 6.2.1. предположим, что допускается частичное неудовлетворение спроса. Это может иметь место, когда убытки завода, обусловленные отсутствием сырья, сопоставимы с издержками его хранения. Предположим, что убытки, обусловленные отсутствием стали, составляют 0,04 тыс. руб. за тонну в сутки[14]. Будем так же предполагать, что неудовлетворенный спрос удовлетворяется сразу, как только на завод поступает очередная партия сырья, причем количество стали, равное неудовлетворенному спросу, поступает в производственные цехи, минуя склад.

Кроме того, предположим, что сталь поступает на завод равномерно с интенсивностью =120 тонн в сутки.

Требуется:

· Найти оптимальный размер партии и оптимальное количество стального проката, поступающего на склад сверх того, что идет в цехи прямо «с колес»;

· Найти оптимальное количество поставок и соответствующую продолжительность периода возобновления поставки;

· Определить минимальные суммарные издержки;

· Построить график изменения запасов в течение года.

Предупреждение

В многочисленной литературе по теории запасов для иллюстрации данной задачи традиционно приводится график, изображенный на рис. 6.2.2.1.

Рис. 6.2.2.1. Традиционный график изменения запасов

Причем, потери от дефицита традиционно задаются пропорциональными площади треугольника, лежащего ниже оси абцисс. Таким образом, традиционно они задаются по аналогии с затратами за хранение, пропорциональными квадрату дефицита . В действительности же потери от дефицита связаны с невыполнением объема работ, пропорционального первой степени величины , что и следует сделать в данной задаче, а также в задаче 6.2.4. В самом деле! Допустим, на заводе образовался дефицит объема . Недополучение сырья приведет к недовыпуску продукции пропорциональному величине дефицита и потерям прибыли также пропорционально этой величине. Следует уточнить выделенное жирным текстом условие: «Предположим, что убытки, обусловленные отсутствием стали, составляют 0,04 тыс. руб. за тонну в сутки», убрав фразу «в сутки».

Кроме того, на рис. 6.2.2.1. не имеет экономического смысла часть графика, обозначенная отрезком [ab]. Вследствие этого традиционная иллюстрация рис. 6.2.2.1. не может иметь экономической интерпретации в целом.

Вспомогательные замечания

График изменения количества а) сырья на складе, б) сырья, поступающего в работу мимо склада («с колес») и в) накопления дефицита должен выглядеть согласно рис. 6.2.2.2.

Интенсивность расхода сырья .

Интенсивность заполнения склада .

Интенсивность поступления сырья на завод, то есть, на склад и в цеха в сумме

.

– вместимость склада, т.

– объем поставки, т.

– стоимость хранения, тыс.руб/т×сут.

– накладные расходы, тыс.руб.

Рис. 6.2.2.2. График изменения количества сырья на складе,

поступающего в работу «с колес», и накопления дефицита

– потери из-за отсутствия сырья, приходящиеся на одну недостающую тонну, тыс.руб/т.

– количество поставок.

В введенных обозначениях:

Объем поставки ;

Количество поставок ;

Расходы и потери за одну поставку

.

Суммарные расходы и потери за период планирования

. (6.2.2.1)

Далее решение может быть получено либо:

а) моделированием затрат (6.2.2.1) в зависимости от варьируемых и с использованием Excel, либо

б) представлением затрат (6.2.2.1) в зависимости от и аналитически, вычисления частных производных от по и , приравнивания этих производных к нулю, и решения получаемой системы двух уравнений относительно и .

6.2.3.

В условиях задачи 6.2.1. предположим, что сталь доставляется на завод не железнодорожным, а автомобильным транспортом с интенсивностью =120 тонн в сутки. В этом случае график изменения запасов будет иметь вид изображенный на рис. 6.2.3.1.

Рис. 6.2.4.1. График изменения запасов в модели,

учитывающей ограниченную интенсивность поставки

Требуется:

· найти оптимальный размер доставляемой на завод партии стали, который обеспечивает минимум суммарным за год издержкам по доставке и хранению;

· найти оптимальное число поставок стали на завод в течение года и соответствующий период между поступлениями очередных партий;

· исходя из того, что транзитная норма по стали для автомобиля составляет 20 тонн, найти ближайший к оптимальному (с позиции минимума издержек) размер партии, кратный транзитной норме;

· построить график изменения запасов для найденного размера партии.

6.2.4.

В условиях задачи 6.2.1. предположить, что допускается частичное неудовлетворение спроса. Такое допущение может иметь место, когда убытки завода, обусловленные отсутствием сырья, сопоставимы с издержками его хранения. Предположим, что убытки, обусловленные отсутствием стали на складе, составляют 0,04 тыс.руб. за тонну. Будем так же предполагать, что неудовлетворенный спрос удовлетворяется сразу, как только на завод поступает очередная партия сырья, причем количество стали, равное неудовлетворенному спросу, поступает в производственные цеха, минуя склад. В этом случае график изменения запасов будет иметь вид изображенный на рис. 6.2.4.1.

Рис. 6.2.4.1. График изменения запасов в модели,

учитывающей убытки вследствие дефицита

Задача состоит в том, чтобы:

· Найти оптимальный размер партии и оптимальное значение количества стали, поступающей на склад, ( идет в цех, минуя склад);

· Определить оптимальное количество поставок и соответствующую продолжительность периода возобновления поставки;

· Найти минимальные суммарные издержки;

· Построить график изменения запасов в течении года.

6.2.5.

Омский нефтеперерабатывающий завод обеспечивает новосибирских потребителей нефтепродуктами (бензины, дизельное топливо и др.). Обеспечение потребителей нефтепродуктами осуществляется через сеть автозаправочных станций АЗС, на которые нефтепродукты доставляют­ся с завода. Рассмотрим АЗС как склад хранения нефтепродуктов. Предположим, что нефтепродукты доставляются на АЗС партиями, которые поступают равномерно с интенсивностью тонн в сутки; расходуются нефтепродукт также равномерно. Превышение спроса на нефтепродукты над предложением допускается. Общая потребность потребителей, которые обслуживаются на данной АЗС, составляет тонн в год. Издержки формирования партии нефтепродуктов составляют руб., издержки хранения составляют , руб/т∙сут, убытки АЗС из-за неудовлетворения спроса составляют , тыс.руб/т.

Требуется найти:

– оптимальный размер поставки, т;

– оптимальную вместимость склада, т.;

– допустимый уровень дефицита, т.;

– оптимальное время цикла поставки, сут.;

График изменения запасов в год.

Минимальное значение суммарных издержек по доставке и хранению.

Параметры задачи:

= 50000 т.;

= 365 сут. – плановый период;

= 0,01 тыс.руб/т – переменные расходы доставки груза, приходящиеся на единицу измерения;

= 0,4 руб. – накладные расходы за одну поставку;

= 5 тыс. руб/т∙сут – стоимость хранения;

= 200 т/сут.;

составляет, допустим, 20% от стоимости одной тонны нефтепродукта (примем 8 тыс.руб/т), т.е = 1,6 тыс.руб/т – убытки АЗС из-за неудовлетворения спроса.