Решение

Пусть Х = (х₁, х₂, х₃) – производственная программа предприятия,

Y = (y₁, y₂, y₃) – план выпуска конечной продукции,

А=

– матрица коэффициентов прямых затрат.

Балансовая модель производственных взаимосвязей имеет вид:

- = ,

или = ,

или = .

Отсюда

=

Найдем обратную матрицу:

· найдем определитель матрицы (I- А) разложением по первой строке:

D _{(I- A)} = 1(1·0,8 - ( -0,1) (0,1) - (-0,2) (- 0,2 · 0,8 - 0) + 0 ( ) =

= 0,8 - 0,01 - 0,2· 0,2 · 0,8 = 0,79 - 0,04· 0,8 = 0,79 - 0,032 = 0,758

D ¹ 0, следовательно, обратная матрица существует.

· Транспонируем исходную (получим в данном примере ту же матрицу, так как исходная матрица симметрична) : (I- A)^’= (I- A).

· Строим присоединенную (I- A)^* ( из алгебраических дополнений к элементам транспонированной):

(I- A)^*= =

= =

· Строим обратную (делением присоединенной матрицы (I- A)^* на определитель D_{(I - A)} матрицы (I- A)):

(I-А)^-1 = В = ( I- А )^*=

= (1/ 0,758) @ (2.2.8)

@ .

Проверка:

(1/0,758) =

(1/0,758) =I.

Матрица (2.2.8) (с учетом деления на 0,758) дает коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат предприятия.

Валовой выпуск x_i каждого цеха получим умножением матрицы В на вектор Y :

(1/ 0,758) =

=(100/0,758) =

=(100/0,758) =

=(100/0,758) = (1/ 0,758) = ,

то есть

X= .

Производственную программу каждого из цехов можно найти из соотношения x _ij = a_ij x_j.

Коэффициенты с_ij косвенных затрат найдем как разности между элементами b_ij матрицы В и соответствующими элементами a_ij матрицы А:

- =

= , что и требовалось.

2.3.2.

К данным предыдущей задачи в следующей таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты в рублях по цехам и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

Решение:

а) Суммарный расход сырья 1 можно получить , умножив соответствующую 1-ю строку таблицы на вектор Х, т. е.

A₄ X = (1,4; 2,4; 0,8) = 1101.

Аналогично можно получить расход сырья 2 и т. д.

Матрицу расходных норм обозначим как

S= .

Тогда вектор суммарных расходов сырья находится в виде произведения SX:

=

б) Расход сырья 1 на единицу конечной продукции 1- го цеха (y₁ =1) найдем из выражения 1,4 b₁₁+ 2,4 b₂₁+0,8 b₃₁. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матриц SB:

=

1 2 3

=

Таким образом, например, для изготовления y₁ = 1 необходимо затратить 1,99 единиц сырья 1-го вида, 0,17 единиц сырья 2-го вида, 2,52 единиц топлива и 15,2 единиц трудоресурсов (чел.-ч.).

в) Расход сырья, топлива и т. д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм s_ij на соответствующие валовые выпуски x_i по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

1 2 3

г) Производственные расходы по цехам можно получить путем умножения слева строки стоимостей (5; 12; 2; 1,2) на последнюю матрицу (полных расходов):

= .

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в пункте «б», на строку цен:

= .

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции 1, 2, 3 цехов соответственно составляют: 35,2 руб., 61,1 руб. и 72, 1 руб.

2.3.3.

Дан следующий межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства.

Построить структурную матрицу и рассчитать коэффициенты полных затрат, валовой выпуск и полные затраты труда на новый ассортимент конечного продукта Y^план = (100; 50; 80).

Решение: Элементы структурной матрицы а_ik (коэффициенты прямых затрат) получим путем деления соответствующих данных таблицы на величины валового выпуска x_i:

а₁₁= 10/ 100= 0, 1; a₁₂= 5/ 100 = 0, 05; a₁₃= 40/ 200 = 0, 2;

a₂₁= 30/ 100= 0, 3; a₂₂= 0/ 100= 0; a₂₃= 30/ 200= =0, 15;

a₃₁= 20/ 100= 0, 2; a₃₂=40/ 100= 0, 4; a₃₃= 0/ 200= 0.

Отсюда получим структурную матрицу

А= .

Коэффициенты полных затрат получим как элементы обратной матрицы.

В= =(Е- А)^-1. Воспользовавшись способом вычисления обратной матрицы (см. Приложение), получим

В= .

Валовой выпуск X, необходимый для обеспечения заданного конечного продукта Y, получим из соотношения

X= B Y = = .

Коэффициенты прямых затрат труда получим путем деления чисел последней строки таблицы на соответствующие значения валовых выпусков.

а₄₁ = 20/ 100 = 0,2; a₄₂ = 30/ 100= 0, 3; a₄₃= 30/ 200= 0, 15

или

A₄= (0,2; 0,3; 0,15).

Коэффициенты полных затрат труда получим путем умножения строки коэффициентов прямых затрат на матрицу B, т. е.

(0,2; 0,3; 0,15) = (0,438; 0,481; 0,302).

Полные затраты труда по всем отраслям составят:

A₄ Х= 0, 2· 152+ 0, 3·126+ 0, 15·159 = 92.