Основы балансовых экономических моделей

Рассмотрим некоторое предприятие, состоящее из нескольких цехов, каждый из которых выпускает один вид продукции.

Часть продукции каждого цеха может быть использована в качестве сырья (промежуточного продукта), используемого в других цехах этого предприятия, а часть идет на реализацию, то есть является конечным продуктом.

Обозначения:

х_i – валовый выпуск продукции i- го цеха, i= 1,..., n;

Х= (х₁, х₂, ..., х_n) – производственная программа предприятия;

Y= (y₁, y₂,..., y_n) – план выпуска товарной продукции (конечной продукции);

х_ij – производственная программа i -го цеха (количество в стоимостном выражениями продукции i-го цеха, поступающее на потребление j -м цехом как сырье (промежуточный продукт), i= 1,..., n, j= 1, ..., n.

Тогда производственные взаимосвязи предприятия могут быть представлены в виде следующих уравнений балансовой модели

х₁- (х₁₁+ х₁₂+ ... + х_1n)= y₁

х₂- (х₂₁+ х₂₂+ ...+ х_2n)= y₂

...................................... (2.2.1)

х_n- (х_n1+ х_n2+... + х_nn)=y_n

Представим х_ij в виде

х_ij= а_ij х_{j ,} (2.2.2)

где а_ij – безразмерный коэффициент.

Тогда .

Определение: Безразмерная величина а_ij такая, что

, (2.2.3)

численно равная объему продукции i-го цеха, используемой как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции j- го цеха, называется коэффициентом прямых затрат (расходным коэффициентом).

Согласно определению (2.2.3) уравнения (2.2.1) балансовой модели принимают вид

х₁- (а₁₁ х₁+ а₁₂ х₂+ ... + а_1n х_n)= y₁

х₂- (а₂₁ х₁+ а₂₂ х₂+ ...+ а_2n х_n)= y₂

...................................... (2.2.4)

х_n- (а_n1 х₁+ а_n2 х₂+... + а_nn х_n)=y_n

или; что тоже самое,

- = , (2.2.5)

или в матричной форме

Х- АХ= Y. (2.2.6)

(А – матрица коэффициентов прямых затрат).

Коэффициенты а_ij прямых затрат позволяют определить объем АХ внутрипроизводственного потребления.

Представим последнее уравнение в виде

IX - AX= (I- A)Х= Y, где I – единичная матрица n- го порядка.

Отсюда

X= (I- A)^-1 Y= BY. (2.2.7)

Определение. Элементы b_ij обратной матрицы (I- A)^-1 =B уравнения (2.2.7) называются коэффициентами полных внутрипроизводственных затрат.

Коэффициенты b_ij полных внутрипроизводственных затрат, согласно уравнению (2.2.7) позволяют по вектору Y конечной продукции определить производственную программу Х предприятия.

Определение. Разность с_ij= b_ij- a_ij между коэффициентом b_ij полных внутрипроизводственных затрат и коэффициентом a_ij прямых затрат называется коэффициентом косвенных затрат.

(Косвенные затраты – затраты, которые не могут прямо относиться на изготавливаемый продукт или услуги, например затраты на содержание административно-управленческого персонала).

В матричной записи коэффициенты косвенных затрат находятся как элементы матрицы

C= (I- A)^-1 - A.