Структура таблицы для решения уравнения методом итераций

После копирования последней строки вниз можно видеть, как значения в ячейках столбца А постепенно перестают меняться, т.е., приближения корня сходятся к его точному значению. Окончание процесса определяется визуально, по совпадению значений двух последовательных ячеек столбца А.

На рис. 11 показана таблица решения уравнения х = е ^–х методом последовательных приближений. Изменение значений х_i отображено на построенной по данным таблицы диаграмме типа "График".

Рис. 11. Решение трансцендентного уравнения

методом последовательных приближений

Если итерационный процесс окажется расходящимся, необходимо преобразовать исходное уравнение F(x)=0 к виду x=f(x) другим способом. Если неизвестная величина х входит только в операнды уравнения только два раза, такое преобразование можно провести всего двумя способами, разрешая уравнение явно относительно одного из входящих в него значений х. Так, рассматриваемое в качестве примера уравнение x=e^-x можно разрешить явно относительно значения х в правой части; произведя логарифмирование, получим: x = - ln x .

В этом случае функции f₁(x) и f₂(x), стоящие в правых частях получаемых уравнений, математически являются взаимно обратными: f₂(x) = f₁^-1(x).

Из математического анализа известно:

(2.4)

Отсюда следует, что, если условие сходимости (2.3) не выполняется для одного из полученных в результате преобразования уравнений вида x=f(x), то оно обязательно выполняется для эквивалентного уравнения x=f ^-1(x).

Если неизвестная величина х входит в исходное уравнение больше двух раз, преобразование к виду x=f(x) можно выполнить несколькими способами. Вариант, для которого выполняется условие сходимости, приходится отыскивать методом проб и ошибок.

Непосредственная проверка выполнения условия сходимости (2.3) через вычисление производной функции f(x) не обязательна. Достаточно выполнить 3-4 шага итерационного процесса (2.2) и проверить: как изменяется расстояние между двумя последовательными значениями приближений x_i, т.е., абсолютная величина разности (x_i+1 – x_i). Если она постепенно уменьшается уже на первых шагах, то процесс является сходящимся и в конце концов приведет к решению.

3. Использование модуля "Подбор параметра"

"Подбор параметра" – модуль (пакет встроенных процедур) EXCEL для решения задач с одним неизвестным. Для решения используется уравнение в канонической записи F(x)=0.

Для применения модуля используются всего две ячейки. Принцип их заполнения показан в таблице 6.

Таблица 6.