После заполнения ячеек с помощью команды меню “Сервис” – "Подбор параметра" запускается модуль. Появляется диалоговое окно (рис. 12) с заголовком "Подбор параметра" и тремя внутренними окнами ввода, которые заполняются следующим образом:
· окно “Установить в ячейке” – вносится адрес ячейки с формулой F(x),т.е.,В1;
· окно “Значение” – вносится число 0;
· окно “Изменяя значение ячейки” – адрес ячейки со значением х, т.е., А1.
Затем щелкаем виртуальную клавишу “OK”. Появляется диалоговое окно с сообщением “Решение найдено” (рис. 13), в котором можно видеть также величину погрешности, с которой выполняется при найденном значении корня условие F(x)=0. Щелчок по клавише “OK” в новом окне позволяет зафиксировать в таблице найденное решение.
.
Рис. 12. Диалоговое окно "Подбор параметра"
Рис. 13. Результат решения с помощью модуля "Подбор параметра"
Видно, что решение отыскивается чрезвычайно просто. Тем не менее, простой способ не всегда является лучшим.
Недостатки использования модуля "Подбор параметра":
· Точность, с которой отыскивается корень, невозможно задать заранее. Погрешность определения корня обычно заметно больше, чем 10-5 и уменьшить ее с помощью повторного применения модуля уже не удается; впрочем, для практических целей точность, достигаемая с помощью модуля, вполне приемлема.
· В некоторых случаях компьютер вообще не может отыскать корень.
· При изменении каких-либо исходных данных таблицы модуль автоматически не запускается и новое решение не отыскивается. В этих случаях модуль необходимо каждый раз запускать заново вручную.
4. Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Записать уравнение в канонической форме F(x)=0. Уравнение выбрать согласно индивидуальному варианту из таблицы 7.
2. На листе 1 протабулировать функцию F(x). Если необходимо, построить ее график.Определить отрезок локализации корня.
3. На листе 2 отыскать корень уравнения с помощью метода половинного деления.
4. На листе 3 выполнить поиск корня уравнения методом последовательных приближений.
5. На листе 4 выполнить поиск корня уравнения с помощью модуля "Подбор параметра".
6. Сделать выводы по результатам работы. В выводах сравнить методы половинного деления и последовательных приближений, а также решение с использованием модуля "Подбор параметра" по следующим признакам:
а) возможность реализации с помощью простейших вычислительных средств (карандаш, бумага, калькулятор);
б) простота реализации в электронных таблицах EXCEL;
в) необходимость выполнения предварительных действий перед началом процесса решения (преобразование уравнения, проверка условий сходимости);
г) возможность применения метода в промежуточных вычислениях при расчете сложной математической модели.
Определить метод, наиболее пригодный для практической работы в следующих условиях:
а) в отсутствие компьютера (с использованием простейших вычислительных средств);
б) единичное решение уравнения с применением электронных таблиц;
в) многократное решение уравнения при различных значениях параметров (коэффициентов);
г) применение в составе сложной математической модели для решения промежуточных задач.
5. Контрольные вопросы и задания.
1. Какую форму должно иметь уравнение для его решения методом половинного деления и методом последовательных приближений?
2. Какому условию должно удовлетворять уравнение, чтобы его можно было решить методом половинного деления?
3. Во сколько раз уменьшится размер отрезка локализации корня при повторении половинного деления 10 раз?
4. Начальная длина отрезка локализации корня равна 1. Сколько раз придется повторить процесс половинного деления, чтобы определить корень уравнения с погрешностью не более 10-4?
5. Какому условию должно удовлетворять уравнение, чтобы его можно было решить методом последовательных приближений?
6. Запишите формулу, определяющую процесс последовательных приближений.
7. В каком разделе меню EXCEL находится команда вызова модуля "Подбор параметра"?
6. Варианты заданий для самостоятельного выполнения.
Таблица 7.
№
Уравнение
Примечание
Найти корень на интервале (0, p)
Найти корень на интервале (0, p)
Окончание таблицы 7.
Найти корень на интервале (0,p/2)
2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Цель работы: знакомство с методами решения и освоение практических приемов решения систем линейных алгебраических уравнений.
Рассматриваются методы решения систем уравнений вида
(2.5)
Следует отметить, что возможности электронных таблиц EXCEL позволяют реализовать известные в математике точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), такие, как метод Гаусса или метод Крамера. Однако для практического использования при ручном счете они слишком громоздки, а в электронных таблицах проще использовать прямое перемножение матриц с использованием матричных функций EXCEL. Поэтому методы Гаусса и Крамера в данной работе не рассматриваются.
1. Методы последовательных приближений (итераций).
Предварительно систему необходимо привести к виду
(2.6)
Наиболее просто это можно сделать, выразив из каждого уравнения соответствующее значение x, т.е., принимая
(2.7)
Затем выбираются начальные значения хi,подставляются в правые части уравнений (2.6) и вычисляются следующие значения, опять подставляются в правые части и т.д., до тех пор, пока два последовательно вычисленных значения любого из неизвестных не окажутся совпадающими друг с другом с заданной точностью.
В качестве начальных значений xi обычно принимаются значения свободных членов уравнений di,однако можно использовать и нулевые значения.
Существует две разновидности метода последовательных приближений. В методе простых итераций вычисляются сразу все n значений неизвестных и все разом подставляются в правые части уравнений (2.6). В методе Зейделя каждое вычисленное новое значение очередного неизвестного сразу же начинают подставлять в правые части уравнений вместо старого, что увеличивает скорость сходимости процесса.
Недостатком методов последовательных приближений является то, что итерационный процесс сходится только при выполнении определенных условийсходимости. В случае системы линейных алгебраических уравнений условие сходимости таково:
(i = 1 … n), (2.8)
или для исходной системы (2.5):
(i=1 … n).(2.9)
Проверка выполнения условий сходимости (2.9) проводится перед преобразованием системы (2.5). В случае нарушения условий уравнения меняются местами, или уравнение, для которого условие сходимости нарушается, заменяется такой линейной комбинаций этого уравнения с другими уравнениями системы, для которой условие сходимости выполняется. Например, в системе
(2.10)
условие сходимости нарушено для второго уравнения. Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из полученного уравнения первое уравнение. Получим
, (2.11)
или
. (2.12)
Для такого варианта второго уравнения условие сходимости выполняется:
(2.13)
Для реализации процесса последовательных приближений для метода простых итераций в EXCEL можно использовать структуру, показанную в таблице 8. Рассматривается пример системы:
с решением х1 = 3, х2 = -1, х3 = 4;условия сходимости выполнены для всех трех уравнений.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(i = 1 … n), (2.8)
(i=1 … n).(2.9)
(2.10)
, (2.11)
. (2.12)
(2.13)