Требуется по кривой разгона идентифицировать технологический объект, то есть получить передаточную функцию методом аппроксимации в классе экспоненциальных функций. Необходимо достигнуть точности в 5%.
Запишем переходную функцию в параметрическом виде.
где α и р – неизвестные параметры.
Поскольку b0 может быть определен из экспериментальных данных, будем полагать, что b0 известно. Выделим из переходной функции свободную составляющую.
Величины α и р определяют на основе значений приближаемой функции yi, измеренных в точках ti.
Запишем переходную функцию для данного объекта и выделим свободную составляющую.
Выбираем 4 точки. Приравнивая поочередно эти значения, получим нелинейную систему уравнений относительно искомых параметров.
Составляем вспомогательный многочлен. Для этого воспользуемся следующим приёмом. Умножим первое уравнение системы на С0, второе – на С1, третье – на С2.Полученные результаты сложим.
Предположим, что Z1, Z2 известны. Тогда они являются корнями какого-то многочлена
Получаем уравнение:
Умножим второе уравнение системы на С0, третье – на С1, четвертое – на С2.Полученные результаты сложим и получим уравнение.
В итоге получим линейную систему уравнений:
Находим с0,с1 и с2,подставляем в 12 и получаем z1,z2.Получаем значения рi используя формулу:
Получаем передаточную функцию:
Возьмем четыре точки с шагом Δt=1 (таблица 2) и получим переходную функцию.
t, сек
Ui
-1
-0.66
-0.33
-0.15
Таблица 2.
Построим переходную функцию полученного объекта и сравним ее с экспериментальной. Графики функций приведены на рисунке 20.
Рис.20. Графики экспериментальной переходной функции и переходной функции, полученной с помощью метода аппроксимации в классе экспоненциальных функций.
Погрешность 3.1 %.
Возьмем четыре точки с шагом Δt=2(таблица 3).
t, сек
Ui
-1
-0.33
-0.065
-0.015
Таблица 3.
Видим, что z получается отрицательным, чего на самом деле быть не может.
Возьмем восемь точек с шагом Δt=1(таблица 4).
t, сек
Ui
-1
-0.66
-0.33
-0.15
-0.065
-0.03
-0.015
-0.005
Таблица 4.
Найдем коэффициенты с0, с1 и с2 вспомогательного характеристического уравнения π(z) с помощью метода наименьших квадратов. Сумма квадратов отклонений должна быть минимальной.
Для нашего случая с2=1.
Берем первую производную по с0 и приравниваем к нулю, получаем первое уравнение. Берем первую производную по с1 и приравниваем к нулю, получаем второе уравнение, решаем систему и получаем с1 и с0. Находим z1, z2, а затем корни р1 и р2.
Построим переходную функцию полученного объекта и сравним ее с экспериментальной. Графики функций приведены на рисунке 21.
Рис.21. Графики экспериментальной переходной функции и переходной функции, полученной с помощью метода аппроксимации в классе экспоненциальных функций.
Погрешность 3%.
Задача №10.
Требуется по кривой разгона идентифицировать технологический объект, то есть получить передаточную функцию графическим методом. Необходимо достигнуть точности в 5%.
Предположим, что наш объект является апериодическим звеном второго порядка.
Нужно провести касательную в точке перегиба. Постоянные времени Т1 и Т2 можно определить по графику способом, показанным на рисунке 22.
Рисунок 22.Определение постоянных времени по графику.
Определим постоянные времени для данного объекта. Проведем касательную в точке t=0,6 (рисунок 23).
Рис.23.Определение постоянных времени для данного объекта.
Получаем, что T1=0.247 T2=1.624.
Построим переходную функцию полученного объекта и сравним ее с экспериментальной. Графики функций приведены на рисунке 24.
Рис.24. Графики экспериментальной переходной функции и переходной функции, полученной с помощью графического метода.
Для определения погрешности найдем разности полученной и экспериментальной функции в точках, приведенных в таблице 1. Максимальное отклонение, выраженное в процентах, будет погрешностью. Эти отклонения приведены в таблице 5.
Таблица 5.
Погрешность 3.93%.
В предыдущих методах погрешность рассчитана таким же способом.
