Задача №8.

Построить математическую модель на основе экспериментальных данных.

Рис.16. Кривая разгона, полученная экспериментально.

Требуется по кривой разгона идентифицировать технологический объект, то есть получить передаточную функцию методом площадей. Необходимо достигнуть точности в 5%.

Для дальнейшей работы необходимо нормировать и обезразмерить значение входного и выходного сигнала по формулам.

Значения взятых точек в первоначальном и в нормированном виде приведены в таблице 1.

В результате на входе получаем единичный скачок, а на выходе приведенное к единицы отклонение в безразмерном виде, показанное на рисунке 17.

Рисунок 17.Нормированный выходной сигнал.

Таблица 1.

М.П. Симою предложил способ определения передаточной функции объекта по графику его кривой разгона рис.16. Предположим, что исследуемый объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.

где:

- постоянные коэффициенты.

Передаточная функция объекта, описываемого этим уравнением, может быть представлена в следующем виде:

Задача состоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты

Используя для этого следующую систему уравнений:

В этой системе уравнений i = m+n и для всех i > n a_i = 0 , а для i > m b_i = 0.

Входящие в уравнения коэффициенты F1,F2,…Fi вычисляются по следующим формулам:

где θ = t / F1

Коэффициенты F1,F2,…Fi связаны с кривой разгона интегральными соотношениями, например для F1 это видно из рисунка 17.

Рис.17. Определение F1 с помощью графика.

Многие промышленные технологические объекты имеют одну из следующих особенностей, влияющих на форму кривой разгона: объект характеризуется отсутствием транспортного запаздывания и наличием самовыравнивания; объект характеризуется отсутствием транспортного запаздывания и самовыравнивания; объект характеризуется наличием транспортного запаздывания и отсутствием или наличием самовыравнивания.

Имеется целый ряд технологических объектов, которые существенно отличаются по своим динамическим характеристикам от перечисленных выше типовых объектов. Их кривые разгона имеют более сложную форму, например не монотонную. Данная методика расчета неприменима для них.

Предположим, что объект является апериодическим звеном второго порядка. Его передаточная функция:

Выбираем интервал разбиения ∆t = 0.2 сек., исходя из условия, что на участке 2∆t функции X_вых мало отличаются от прямой. Выбранные точки приведены в таблице 5 (приведена в конце документа).

Определяем F1 по формуле:

Определяем F2 по формуле:

Так как b1=0 и b2=0, поэтом а1=F1=1,748 и а2=F2=0.7.

Передаточная функция объекта:

Найдем реакцию полученного объекта на единичный скачок и сравним ее с экспериментальной кривой разгона.

Построим переходную функцию полученного объекта и сравним ее с экспериментальной. Графики функций приведены на рисунке 18.

Рис.18 .Графики экспериментальной переходной функции и переходной функции, полученной с помощью метода площадей.

Погрешность 1,2%.