Построение моделей.

Для решения задач анализа и моделирования тенденций изме­нения исследуемого показателя используются модели кривых роста. Плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую временной ряд, принято называть кривой роста. Подбор такой кривой является аналитическим (не механическим) выравнива­нием. Чаще всего используются полиномиальные, экспоненци­альные и S-образные кривые роста. Примеры кривых роста:

• полином первой степени (прямая) Y(t) = а₀ + a₁t,

• полином второй степени (парабола) Y(t) = а₀ + a₁t + a₂t².

Математические методы позволяют представить прогнозиру­ющую модель в виде полинома любого порядка. Однако без не­обходимости использование полиномов высокого порядка пред­ставляется излишним.

Параметры «кривых роста» оцениваются методом наименьших квадратов (МНК), т.е. подбираются таким образом, чтобы гра­фик функции «кривой роста» располагался на минимальном уда­лении от точек исходных данных.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, до­пускающим содержательную интерпретацию. К числу таких мо­делей относится линейная модель роста

y_t = а₀ + а₁t, (3.2)

где а₀ и а₁ - параметры модели, а t = 1, 2, …, п.

Математически критерий оценки параметров модели записы­вается в виде

(3.3)

Для нахождения минимума функции двух переменных следует взять частные производные по а₀ и а₁, а затем приравнять их нулю. В результате получим так называемую систему нормаль­ных уравнений

(3.4)

Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестны­ми, получим

(3.5)

где и - средние значения моментов наблюдения и уров­ней ряда соответственно.