Системы счисления

Для изображения чисел используются определенные приемы и правила, называемые системами счисления. Все известные системы счисления подразделяются на две группы: непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционной системе счислениязначение символа (цифры, буквы, знака или иероглифа) постоянно и не зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. Непозиционные системы как более простые появились гораздо раньше, чем позиционные. До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем – римская система счисления. В ней используются так называемые римские цифры: I -1, V-5, X-10, L- 50, C-100, D-500, M – 1000. Значение числа вычисляется суммированием всех чисел с учетом правила: если цифра меньшего веса стоит слева от следующей за ней цифрой большего веса, то она имеет знак минус, а если справа – то знак плюс.

Например: число MCCXXXIV определяется следующим образом:

1000+100+100+10+10+10-1+5=1234

Для самостоятельной работы:

VXXXIM =-5+10+10+10-1+1000,

MXXXV=1000+10+10+10+5

XXVIII=10+10+5+1+1+1

XCIX=-10+100-1+10

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. при увеличении диапазона представляемых чисел увеличивается число различных символов в изображаемых числах.

2. очень сложные правила выполнения даже самых простых арифметических действий.

3. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

В позиционных системах счисления, наоборот, значение символа зависит от позиции этого символа в изображаемом числе.

Позиционные системы счисления обладают тем важным свойством, что все числа (и малые, и большие), могут быть записаны с помощью конечного набора различных символов.

В позиционных системах счисления любое число X изображается в виде полинома _n

X=a_n*Sⁿ+ a_n-1*S^n-1+…+ a₁*S¹+ a₀+a-₁*S^-1+…+ a_-m*S^-m=∑a_j*S^j

^J=-m

Где a_j -разрядный коэффициент, S-основание системы счисления, S^j-весовой коэффициент.

Значение любого разрядного коэффициента в изображаемом числе может находится в диапазоне от 0 до S-1.

В настоящее время во всех странах мира используется десятичная система счисления, представляющая собой позиционную систему счисления с основанием S=10. Разрядные коэффициенты при изображении чисел в десятичной системе счисления могут принимать значения в диапазоне от 0 до 9. Для краткости вместо записи числа в виде полинома записывают только последовательность разрядных коэффициентов этого полинома.

Например: 168₁₀=1*10²+6*10¹+8*10⁰

168₁₆=1*16²+6*16¹+8*16⁰

168₈=1*8²+6*8¹+8*8⁰

Для самостоятельной работы: 5698=5*10³+6*10²+9*10¹+8*10⁰

56, 35234

Х₁₀=163,28=1*10²+6*10¹+3*10⁰+2*10^-1+8*10^-2

Нижний индекс в записи числа указывает на основание используемой системы счисления. Переход от системы счисления с произвольным основанием к десятичной системе счисления осуществляется при помощи выражения

_n

∑a_j*S^j, которое справедливо как для целой, так и дробной частей числа.

^J=-m

Например: 367₈=3*8²+6*8¹+7*8⁰ (=247₁₀)

Переход от десятичной системы счисления к системе счисления с произвольным основанием выполняется в соответствии со следующими правилами: целая часть десятичного числа делится на основание новой системы счисления; запись целой части нового числа производится с последнего результата деления (старший разряд целой части); дробная часть десятичного числа умножается на основание новой системы счисления; запись результата нового числа производится с первого результата умножения (старший разряд дробной части).

Алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Например:

То же самое число 247₁₀ можно записать в виде 11110111₂ двоичного числа:

247:2=123+1 (Х₀=1)

123:2=61+1 (Х₁=1)

61:2=30+1 (Х₂=1)

30:2=15+0 (Х₃=0)

15:2=7+1 (Х₄=1)

7:2=3+1 (Х₅=1)

3:2=1+1 (Х₆=1)

1:2=0+1 (Х₇=1)

Запись числа в новой системе счисления начинается с последнего результата деления 11110111

Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления:

173:8=21+5 (Х₀=5)

21:8=2+5 (Х₁=5)

2:8=0+2 (Х₂=2) 173₁₀=255₈

Алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения

Пример: Перевести число 0, 65625₁₀ в восьмеричную систему счисления:

0, 65625

*8

5 25000

*8

2 00000

Результат: 0,65625₁₀=0,52₈

Перевести число 0, 65625₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

0, 65625

*16

10 50000

*16

8 00000

Результат: 0,65625₁₀=0,А8₁₆

Перевод произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример: перевод дробного десятичного числа 125, 48₁₀, в двоичное.

Сначала переводится целая часть числа:

125:2=62+1 (Х₀=1)

62:2=31+0 (Х₁=0)

31:2=15+1 (Х₂=1)

15:2=7+1 (Х₃=1)

7:2=3+1 (Х₄=1)

3:2=1+1 (Х₅=1)

1:2=0+1 (Х₆=1) Целая часть имеет вид: 12510=1111101₂

Затем переводится дробная часть:

0,48*2=0+0,96 (Х_-1=0)

0,96*2=1+0,92 (Х-₂=1)

0,92*2=1+0,84 (Х_-3=1)

0,84*2=1+0,68 (Х_-4=1)

0,68*2=1+0,36 (Х_-5=1)

0,36*2=0+0,72 (Х_-6=0)

0,72*2=1+0,44 (Х_-7=1) и т.д.

Следует иметь в виду, что дробная часть числа в новой системе счисления может иметь большое число разрядов и даже оказаться бесконечной. Поэтому нет необходимости находить все разряды, можно ограничиться лишь их частью.

В нашем примере ограничимся 7 разрядами.

0,48₁₀=0, 0111101₂

Окончательный результат: 125, 48₁₀=1111101,0111101₂

Для самостоятельной работы: 56, 35₁₀ , 163,2810 -перевести в двоичную систему счисления

Для представления числа с основанием системы счисления S средствами цифровой вычислительной техники необходимо, чтобы электронное устройство могло формировать на выходе и воспринимать на входе S различных состояний электрических сигналов.

Для ввода и вывода десятичной информации в цифровые вычислительные устройства обычно используется не сама десятичная система счисления, а двоично-десятичная, которая позволяет представить десятичные числа с использованием двоичных кодов. В этой системе каждая цифра десятичной записи числа изображается в виде четырехразрядного двоичного кода