Перейдем теперь от общих соотношений к ряду приложений и займемся прежде всего вопросом о модуляции, играющим в современной технике очень важную роль.
Наибольшее значение имеет модуляция в технике связи. Всякий сигнал радиосвязи — будь то сигнал телеграфный, телефонный, телевизионный или любой другой — получается путем модуляции. Излучение радиостанции без модуляции подобно чистой странице, модулированное излучение подобно странице, на которой напечатаны те или иные буквы или знаки.
Большое значение имеет модуляция и в современной измерительной технике и в ряде специальных отраслей.
При передаче сигналов применяется некоторый физический агент, называемый переносчиком, и характеризующийся в отсутствие модуляции определенным числом постоянных параметров. Модуляция состоит в том, что тот или иной параметр переносчика изменяется во времени в соответствии с передаваемым сигналом. В простейшем случае, рассмотрением которого мы и ограничимся, в качестве переносчика применяется синусоидальное колебание [1]. Запишем аналитическое выражение такого колебания
x = с0 sin (ω0t + φ0) (7.1)
Здесь с0— амплитуда, ω0 — частота, φ0 — начальная фаза. В смодулированном колебании эти три параметра, полностью определяющие колебание, постоянны. В принципе возможно модулировать каждую из трех названных постоянных величин; мы будем иметь соответственно амплитудную модуляцию (AM), частотную модуляцию (ЧМ) и фазовую модуляцию (ФМ). Разберем каждый вид модуляции подробно.
Воздействие, называемое модуляцией, мы можем характеризовать как умножение модулируемой величины на множитель
1 + mf(t),
где f(t) — модулирующая функция, определяемая так, чтобы │f(t) │≤ 1, а m — величина, характеризующая степень воздействия, могущая принимать значения от 0 до 1 и называемая глубиной модуляции.
При амплитудной модуляции модулированное колебание принимает вид
(7.2)
Начнем с простейшего случая синусоидальной модуляции, т.е. положим
ƒ(t) = sin Ωt
Подставляя в (7.2), получаем
(7.3)
Следовательно, модулированное колебание имеет дискретный спектр, состоящий из трех спектральных линий, как показано на рис.5.
Частота немодулированного колебания ω0 носит название несущей частоты; возникшие в результате модуляции дополнительные частоты ω0 ─ Ω иω0 + Ω называются боковыми частотами, или спутниками.
Итак, колебание с постоянной частотой, но с переменной амплитудой распадается на несколько синусоидальных колебаний. Напомним, что по определению синусоидальным является только колебание вида (7.1), т.е. колебание с постоянными амплитудой, частотой и фазой. Как угодно модулированная синусоида — это уже не синусоида. Эту истину можно выражать по-разному, но как бы мы ее ни формулировали, она является ключом к правильному пониманию вопросов модуляции.
Рассмотрим несколько более сложный случай, когда модулирующая функция периодична, т.е.
Тогда
Модулированное колебание состоит из несущей частоты и двух групп, называемых боковыми полосами (обе суммы п фигурных скобках). Спектр модулированного колебания изображен на рис.6.
Следует заметить, что правая боковая полоса воспроизводит спектр модулирующей функции, а левая представляет собой зеркальное отражение правой. Таким образом, при процессе модуляции осуществляется транспозиция (перенос) спектра модулирующей функции; спектр смещается на величину ω0 по шкале частот. Общие заключения по этому поводу можно вывести из теоремы (4.6). Нам еще представится случай вернуться к этому.
Очевидно, что если несущая частота и основная частота модулирующей функции несоизмеримы, то получаемое модулированное колебание непериодично и изображенный на рис. 6 спектр квазигармоничен.
Следует добавить, что при так называемой балансной модуляции несущая частота отсутствует, и спектр состоит только из боковых полос. Математически это выражается тем, что амплитуда несущей частоты умножается не на 1 + mf(t), а просто на f(t). Действительно, слагающая несущей частоты появляется в модуляционном спектре только за счет постоянной составляющей в выражении 1 + mf(t). При балансной модуляции осуществляется простое перемножение модулирующей функции на колебание несущей частоты. Представим последнее в виде
.
Для балансно-модулированного колебания получим
Воспользовавшись теоремой (4.6), найдем, что спектр модулированного колебания есть
где S(ω) — спектр модулирующей функции f(t). Два члена в квадратных скобках выражают обе боковые полосы.
Представляет интерес вопрос о ширине модуляционного спектра; этот вопрос рассмотрен в добавлении I.
Перейдем к несколько более трудному вопросу о частотной модуляции. Нужно сказать, что история развития теории модуляции дает наибольшее количество примеров путаницы в понятиях, связанной с неправильным применением спектрального воззрения на колебания. Даже сравнительно простая амплитудная модуляция послужила (и притом не так давно) поводом для совершенно ошибочных высказываний. Еще хуже обстояло дело с частотной модуляцией. Сущности дела долго не понимали инженеры и исследователи. Поучительно воспроизвести распространенное в свое время рассуждение о свойствах частотной модуляции: при частотной модуляции мы имеем колебание, частота которого непрерывно изменяется в пределах заданного нами интервала ω0 ± ∆ω; от частоты модуляции Ω зависит частота изменения несущей частоты, но не величина этого изменения. Стало быть, спектр колебания должен быть сплошным (так как частота пробегает все значения в пределах интервала ω0 ± ∆ω), а ширина спектра должна составлять 2∆ω. А так как эта ширина назначается нами произвольно, то можно сократить полосу, занимаемую на шкале частот передающей радиостанцией.
Все здесь неверно: и спектр получается не сплошной, а дискретный, и ширина его при узком интервале 2∆ω (так называемая полоса качания) не зависит вовсе от величины этого интервала, а определяется, как и в случае AM, шириной спектра модулирующей функции. Наконец, когда ЧМ получила практическое применение, то оказалось, что, имея значительные специфические преимущества, она требует полосы раз в 15 — 20 более широкой, чем та, которая отпускается по международным правилам на AM.
Выведем теперь основные соотношения. Предположим, что частота модулируется по косинусоидальному закону
где ∆ω — частотное отклонение, а ∆ω/ω0 — относительное изменение, т.е. глубина модуляции частоты.
По своему определению круговая частота есть производная по времени от аргумента тригонометрической функции, представляющей колебание. Поэтому мы можем записать для частотно-модулированного колебания при синусоидальной модуляции
(7.4)
где β = ∆ω/Ω — так называемый индекс модуляции.
Рассмотрим сначала соотношения при малом индексе β. Заменяя в (7.4) cos и sin малого аргумента соответственно единицей и самим аргументом, получим
т.е. выражение, ничем не отличающееся от выражения для AM колебания. Спектр ЧМ колебания при синусоидальной модуляции с малым индексом, так же как и спектр AM колебания, состоит из несущей частоты и двух спутников с частотами ω0 ± Ω. Обратимся теперь к общему случаю, т.е. к случаю произвольного индекса β.
Используя известные формулы теории бесселевых функций [2]
найдем:
Перемножая под знаками сумм, получим окончательно
(7.5)
Мы имеем, таким образом, колебание с линейчатым спектром. В отличие от AM здесь при синусоидальной модуляции возникает бесконечный спектр. Однако практически он ограничен. Дело в том, что, как видим, амплитуды гармоник пропорциональны, а эти функции обладают своеобразным свойством: они Јk(β), сохраняют весьма малое значение до значений β тем больших, чем выше порядок k.
(7.2)
(7.3)
(7.4)
(7.5)