Основание этой системы счисления (p) равно двум. В этой системе счисления используется всего две цифры. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в двоичной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0 и 1. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 2. Если же кроме двоичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.
Число в двоичной системе счисления записывается как сумма единиц, двоек, четвёрок, восьмёрок и так далее. Это означает, что веса соседних разрядов различаются ровно в два раза. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как половины, четверти или восьмые доли единицы.
При записи во второй строке примера десятичных эквивалентов двоичных разрядов мы не стали записывать степени двойки, которые умножаются на ноль, так как это привело бы только к загромождению формулы и, как следствие, затруднению понимания материала.
Недостатком двоичной системы счисления можно считать большое количество разрядов, требующихся для записи чисел. В качестве преимущества этой системы счисления можно назвать простоту выполнения арифметических действий. Приведём правила операций сложения и умножения в двоичной системе счисления:
0 + 0 = 0 0 * 0 = 0
0 + 1 = 1 0 * 1 = 0
1 + 0 = 1 1 * 0 = 0
1 + 1 = 10 1 * 1 = 1
Ну, как? Вспомнили, сколько усилий вы прикладывали в школе для того, чтобы выучить таблицу умножения. Как всё просто было бы в двоичной системе счисления! А теперь попробуем выполнить несколько операций в двоичной системе счисления. В качестве примера возьмём десятичные числа 510 и 3,510. Сначала преобразуем их в двоичную форму:
Затем выполним суммирование этих чисел в двоичной системе счисления. Суммирование будем выполнять в "столбик". Так будет легче понять производимые арифметические действия:
При суммировании единичных разрядов возникает перенос в разряд двоек. В свою очередь суммирование двоек и переноса из предыдущего разряда создает перенос в разряд четвёрок. Точно такая же ситуация и в разряде четвёрок. А теперь для проверки переведём получившийся результат в десятичную форму:
Как видно из получившегося числа, результат сложения совершенно одинаков. То есть при выполнении суммирования в двоичной системе счисления ошибки не произошло. Теперь выполним операцию двоичного вычитания. Вычтем из числа 510 число 3,510. В результате выполнения операции мы ожидаем получить десятичное число 1,5.
При вычитании разряда половинок сразу же возникает необходимость заёма из старшего разряда. Если из единицы вычесть число 0,5, то в качестве результата получим тоже половину единичного разряда. Записываем на место половинок единицу. Аналогичная ситуация после заёма единицы возникает и в разряде единиц. Придётся занять двойку. В результате операции вычитания на месте единиц тоже записываем единицу. В разряде двоек вычитаем из единицы единицу. В результирующее число на место двоек записываем ноль. В разряде четвёрок после заёма остался ноль. В результате вычитания нуля из нуля получаем ноль. Его и запишем на место четвёрок. Ну а теперь проверим, что же мы получили. Для этого преобразуем число из двоичной формы в десятичную:
001,12 = 1*20 + 1*2-1 = 810 + 0,510 = 1,510
Следующей рассмотрим операцию двоичного умножения. Умножать будем те же самые числа (510 и 3,510). В результате операции умножения ожидаем получить число 17,510. Умножение произведём в "столбик". Умножение в "столбик" в двоичной системе выполняется точно так же как и в десятичной системе счисления.
Первое частичное произведение образуется при умножении младшего разряда множителя на множимое. В этом разряде записана единица. То есть в качестве частного произведения просто записываем сам множитель. Во втором разряде множителя записан ноль. То есть в результате умножения получаем нулевое значение. Его сдвигаем на один двоичный разряд (как в десятичной системе счисления). Третье частичное произведение, как и первое, будет равно множимому. Его сдвигаем на два двоичных разряда. В конце операции умножения, как и в десятичной системе счисления, суммируем все частичные произведения.
Снова проверяем полученный результат. Для этого, как и в предыдущем случае, преобразуем число из двоичной формы в десятичную:
