Основание системы счисления (p) равно шестнадцати. В этой системе счисления используется шестнадцать цифр. Эту систему счисления можно считать ещё одним вариантом записи двоичного числа. В шестнадцатеричной системе счисления уже не хватает десяти цифр, поэтому дополнительно были введены шесть символов. Для обозначения этих цифр используются шесть первых букв латинского алфавита. При записи шестнадцатеричного числа неважно буквы верхнего или нижнего регистра будут использоваться в качестве цифр. Таким образом, в качестве цифр в шестнадцатеричной системе используются следующие символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Так как в шестнадцатеричной системе счисления появляются новые цифры, то приведём таблицу соответствия цифр этой системы их десятичным эквивалентам. В таблице 5.3 в левом столбце приведены шестнадцатеричные символы, а справа – их десятичные эквиваленты.
Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, чисел шестнадцать, двести пятьдесят шесть и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в шестнадцать раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как шестнадцатые, двести пятьдесят шестые и так далее доли единицы
Рассмотрим пример записи шестнадцатеричного числа:
=
Приведём таблицы операций сложения и умножения в шестнадцатеричной системе счисления.
Для иллюстрации действий в шестнадцатеричной системе счисления выполним несколько операций. В качестве примера возьмём те же самые числа, что и в предыдущем случае, а именно 510 и 3,510. Сначала преобразуем их в шестнадцатеричную форму:
A = 510 = 516.
B = 3,510 = 3,816 = 3*160 + 8*16-1 = 310 +
Таблица 5.4. Таблица сложения шестнадцатеричных чисел
+
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
a
b
c
d
e
f
b
b
c
d
e
f
1a
c
c
d
e
f
1a
1b
d
d
e
f
1a
1b
1c
e
e
f
1a
1b
1c
1d
f
f
1a
1b
1c
1d
1e
Таблица 5.5. Таблица умножения шестнадцатеричных чисел
*
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
c
e
1a
1c
1e
c
f
1b
1e
2a
2d
c
1c
2c
3c
a
f
1e
2d
3c
4b
c
1e
2a
3c
4e
5a
e
1c
2a
3f
4d
5b
1b
2d
3f
5b
6d
7f
a
a
1e
3c
5b
6f
8d
b
b
2c
4d
6f
7a
9b
a6
c
c
3c
6d
9d
a9
b5
d
d
1a
4e
5b
9d
a9
b6
c3
e
e
1c
2a
7f
8d
9b
a9
b6
c4
d2
f
f
1e
2d
3c
4b
5a
a6
b5
c3
d2
e1
Затем выполним суммирование этих чисел в шестнадцатеричной системе счисления. В результате суммирования ожидаем получить число 8,510. Суммирование будем выполнять в "столбик". Так будет легче понять арифметические действия.
Для проверки переведём получившийся при выполнении операции суммирования результат в десятичную форму:
8,816 = 8*160 + 8*16-1 = 810 + 0,510 = 8,510
Как видно из полученного десятичного числа результаты совпадают. То есть при выполнении суммирования в шестнадцатеричной системе счисления ошибки не произошло.
Теперь выполним операцию шестнадцатеричного вычитания. Вычтем из числа 510 число 3,510. В результате выполнения этой операции мы ожидаем получить десятичное число 1,5.
При вычитании разряда шестнадцатых частей сразу же возникает необходимость "заёма" из старшего разряда. Если из единицы вычесть число 0,816, то в качестве результата получим тоже число 0,816. Записываем на место шестнадцатых частей цифру восемь. В разряде единиц из оставшейся после "заёма" цифры 4 вычтем цифру 3. Проверим полученный результат. Для этого преобразуем число из шестнадцатеричной формы в десятичную:
1,816 = 1*160 + 8*16-1 = 110 + 0,510 = 1,510
Выполним операцию шестнадцатеричного умножения. Умножать будем те же самые числа (510 и 3,510). В результате операции умножения мы ожидаем получить число 17,510. Умножение произведём в "столбик". Умножение в столбик в шестнадцатеричной системе счисления выполняются точно так же как и в десятичной системе.
Первое частичное произведение образуется при умножении младшего разряда множителя на множимое. При умножении цифры 8 на цифру 0 получаем 0. Записываем младший разряд частичного произведения. Результат умножения цифры 8 на цифру 5 определяем по таблице 5.5.
Точно так же получаем и второе частичное произведение, сдвигаем его на один шестнадцатеричный разряд (как в десятичной системе счисления) и точно так же как и в десятичной системе счисления в конце операции умножения суммируем все частичные произведения.
Снова проверяем полученный результат. Для этого преобразуем число из шестнадцатеричной формы в десятичную:
Из приведённых примеров записи чисел в различных системах счисления вполне очевидно, что для записи одного и того же числа с одинаковой точностью в разных системах счисления требуется различное количество разрядов. Чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов требуется для записи одного и того же числа.
