Решение систем линейных уравнений

В общем виде систему n линейных уравнений с n неизвестными записывают

(1)

Или в краткой форме

(1’)

Решением системы линейных уравнений (1) называется любая совокупность чисел , которая будучи подставлена во все уравнения системы вместо неизвестных , обращает эти уравнения в тождества.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если решений нет.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если более одного решения.

Система имеет единственное решение, если определитель системы .

Если обозначить матрицу коэффициентов

, вектор-столбец , а вектор-столбец неизвестных , то систему (1) можно записать в матричной форме:

(2)

Многообразие численных методов решения системы линейных уравнений подразделяется на точные методы и приближенные.

Точные методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операции, при этом, если коэффициенты системы и свободные члены – числа точные, а все операции выполнять без округления, то точные методы дают точное решение. В точных методах решение будет иметь погрешность неустранимую , погрешность округления , погрешность метода . К точным методам относятся: метод Крамера, метод Гаусса и его модификации, метод квадратных корней и другие методы.

Приближенные методы дают решение системы, как предел последовательных приближений, вычисляемых по единообразной схеме. Даже в случае точных коэффициентов, решение получают приближенное, так как за решение принимается некоторый член последовательных приближений. В приближенных методах , решение будет иметь неустранимую погрешность , погрешность округления . К приближенным методам относятся: метод итераций (повторение), метод Зойделя, метод релаксации и другие.

3.1 метод Гаусса.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных. Суть егосостоит в преобразовании системы (1) к равносильной системе с треугольной матрицей ( или диагональной), из которой затем последовательно, обратным ходом получают значения всех неизвестных.

а) Схема единственного деления.

Полагают, что , его называют ведущим элементом.

Разделим первое уравнение на , получим

Или в краткой форме:

(3)

Где

Выразив из (3) , подставим его во все уравнения системы (1), начиная со второго, тем самым исключая его из этих уравнений.

Начиная со второго уравнения, получим систему

(4)

Коэффициенты новой системы вычисляются по формулам:

(5)

В новой системе (4) полагают, что - ведущий элемент. Разделим первую строку системы (4) на предыдущий элемент

(6)

Выразив из системы (6), подставляют во все уравнения системы (4), начиная со второго, исключив его из этих уравнений.

Получили теперь систему, в которой уравнения и столько же неизвестных.

На k-oм шаге получим:

(7)

Выразив из системы (7) , подставляют во все остальные уравнения.

Получаем систему

(8)

коэффициентов для (7), (8), вычисляются по формулам:

(9)

Продолжая процесс исключения неизвестных, на n-oм шаге получим

(10)

Уравнение ( 10 ) содержит одну неизвестную, из которой находят . Подставив в предыдущие уравнения типа ( 7 ) до ( 3 ), находим неизвестные .

Процесс получения системы с треугольной матрицей называют прямым ходом. Процесс нахождения неизвестных – обратным ходом. Элементы - ведущие элементы.

б) схема Жордана.

Схема предполагает, что из всех коэффициентов системы выбирается наибольший по модулю , его называют главным элементом.

Обозначим . Строка p, содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Если элементы главной строки разделить на главный элемент, то найдем неизвестный . Подставив его в неглавные уравнения, мы исключаем его из этих уравнений.

На втором этапе, из всех коэффициентов системы, не учитывая главной строки, опять выбираем наибольший по модулю. Пусть это будет . Теперь - главная строка.

Разделив строку на главный элемент, находят неизвестное . Подставив его во все неглавные уравнения, исключают его из уравнения. Этот процесс повторяют n раз. При этом получают систему из n уравнений, но в каждом уравнение по одному неизвестному.

Например, уравнение, содержащее неизвестное , будет иметь вид .

В результате n шагов, получаем систему

(11)

Получение равносильной системы (11) с диагональной матрицей – это прямой ход. Решение системы (11) – обратный ход.