русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Комбинированные методы


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1923; Нарушение авторских прав


Метод касательных (метод Ньютона)

Блок – схема алгоритма метода половинного деления.

 

Рассмотрим другие методы уточнения корней

Итак, пусть дано уравнение f(x)=0 и корень уравнения х* отделен на отрезке .

Пусть и , и пусть и сохраняют знаки на этом отрезке.

При этих условиях возможны 4 случая расположения кривой (эскизы):

 

1) 2)

 

y

y

       
   
 
 


a a

0 x* b x 0 x* b x

 
 

 


3) 4)

 

 

y y

 

       
 
   
 


x* b x* b x

a 0 x a 0

 

2.2 Метод хорд («метод ложного положения» или «метод пропорциональных частей»)

 

Пусть дано уравнение

 

(1)

 

где - непрерывная и дважды дифференцируемая функция и пусть корень отделен на отрезке , т.е. , а и сохраняют знаки на отрезке .

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дуга кривой заменяется стягивающей ее хордой.

В качестве приближенного значения корня принимается абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох.

Рассмотрим случай 1),когда и график функции проходит через точки

А (а,f(a)) и B (b,f(b)), - корень уравнения (1). Через точки A и B проведем хорду, точку ее пересечения с осью Ох возьмем за приближенное значение корня, т.е. точка - точка пересечения хорды с осью Ох, .

y

 

B (b,f(b))

 

a x*

 
 


0 b x

 
 


А (а,f(a))

 

Из аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящее через две точки, используя его, запишем уравнение прямой

 

(2)

(или ) (2’)

 

 

Подставляя в уравнение (2) координаты точки , получаем



 

(3)

 

Формула (3) – формула метода хорд.В этой формуле числа a и b можно менять местами (или из (2’)):

 

(3’)

 

 

Возьмем теперь на кривой точку и проведем хорду через точки и B и найдем точку пересечения ее с осью Ох. Аналогично рассуждая, получим

;

Продолжая процесс, на (k+1) шаге получим

 

(4)

 

В рассматриваемом случае конец a меняется, получаем последовательность , а конец b не меняется.

Аналогичная картина и в случае 3).

В случаях 2) и 4) неподвижным концом является конец a и в качестве исходной формулы используется формула (3’)



 


Замечание: неподвижным концом отрезка является тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

Для случаев 1) и 3) последовательность - возрастающая и ограничена сверху числом . Во 2) и 4) – последовательность - убывающая и ограничена снизу числом .

Тогда по теореме об ограниченной последовательности, она сходится и имеет предел, т.е.

,

То есть при достаточно большом к мы можем получить приближенное значение корня с любой степенью точности.

 

Пусть корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке .

Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой на отрезке заменяется касательной к этой кривой, за приближенное значение корня принимается абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох.

Пусть для определенности и на , то есть имеем случай 1).

 

y

 
 

 

 


a x* c’1

0 c’2 b x

 

График функции проходит через точки и . Проведем касательную к кривой в точке . Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

 

(5)

 

Полагая и , из (5) выразим :

 

(6)

 

(6) – формула метода касательных.

Теперь корень уравнения находится на отрезке . Проведем касательную к кривой в точке и найдем точку пересечения касательной с осью Ох. Обозначим абсциссу - и получим:

 

 

(7)

 

Получаем последовательность приближенных значений . Каждый последующий член, которой ближе к корню . Последовательность - убывающая и ограничена снизу числом . По теореме об ограниченной последовательности, она сходится и имеет предел . За приближенное значение корня можно принять к-ое приближение . Аналогичным образом строится последовательность и в случае 3).

Замечание: для того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ох лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в том конце, где знаки функции и второй производной одинаковы.

Для случая 2) и 4) касательную надо проводить в точке A, где в – неподвижный конец.

Строя приближения, получим последовательность возрастающую и ограниченную сверху , следовательно, она имеет предел

В случае 1) и 3) приближенное значение ,

- приближенное значение корня с избытком.

Во 2) и 4) – приближение - приближение с недостатком.

Для оценки погрешности приближенного значения корня справедлива следующая теорема.

Теорема: если точный корень уравненияи его приближенное значение , на котором функция дифференцируема и , , то справедливо неравенство

 

Доказательство:

Так как и , на котором функция дифференцируема, то она и непрерывна в этом промежутке и в частности на концах, тогда выполняется условие теоремы Лагранжа для отрезка . По теореме Лагранжа имеем: , .

Так как , то

Взяв модули, имеем:

Так как , то

Если за взять (или ), то

 

, (8)

 

где на множестве Х

- n –ое приближение, полученное по методу хорд () или касательных ().

 

Рассмотренные методы численного решения уравнений удобно применять не в чистом виде, а путем их сочетания.

Например, методом проб уточнить до 0.1, то есть сузить отрезок до длины 0.1. К полученному отрезку можно применить метод хорд, касательных или оба одновременно.

Рассмотрим случай 1): . Точный корень всегда находится между любым приближением по методу хорд (слева от ) и приближением по методу касательных (справа от ).

 

 
 


y B

 

B1

 
 


a c1

0 c’1 b x

       
   
 
   
 
 

 


A A1

 

 

В случаях 1) и 3) приближение по методу хорд – с недостатком, а по методу касательных – с избытком.

Во 2) и 4) – по методу хорд – с избытком, по методу касательных – с недостатком.

Если применять одновременно оба метода, то формула ( 4 ) примет вид:

 

(9)

 

А формула (7) не изменится

 

(7)

 

Замечание: касательная проводится в той точке, для абсциссы которой и одинаковы по знаку. Так как в комбинированном методе находится между и , то

- погрешность метода , где - абсолютная погрешность.

Чтобы уточнить корень с точностью , нужно получить приближение, полная погрешность которого

Пример: уточнить комбинированным методом хорд и касательных, корень уравнения с точностью , корень уравнения отделен на отрезок

[-1,0]

,

, следовательно, к концу a – метод касательных, к b – метод хорд.

Приближение по методу касательных – с недостатком, по методу хорд – с избытком.

На 3ем шаге получим: -0.7391<x<-0.7389

Погрешность метода , ,

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Метод проб | Решение систем линейных уравнений


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.011 сек.