Комбинированные методы

Метод касательных (метод Ньютона)

Блок – схема алгоритма метода половинного деления.

Рассмотрим другие методы уточнения корней

Итак, пусть дано уравнение f(x)=0 и корень уравнения х* отделен на отрезке .

Пусть и , и пусть и сохраняют знаки на этом отрезке.

При этих условиях возможны 4 случая расположения кривой (эскизы):

1) 2)

y

y

a a

0 x* b x 0 x* b x

3) 4)

y y

x* b x* b x

a 0 x a 0

2.2 Метод хорд («метод ложного положения» или «метод пропорциональных частей»)

Пусть дано уравнение

(1)

где - непрерывная и дважды дифференцируемая функция и пусть корень отделен на отрезке , т.е. , а и сохраняют знаки на отрезке .

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дуга кривой заменяется стягивающей ее хордой.

В качестве приближенного значения корня принимается абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох.

Рассмотрим случай 1),когда и график функции проходит через точки

А (а,f(a)) и B (b,f(b)), - корень уравнения (1). Через точки A и B проведем хорду, точку ее пересечения с осью Ох возьмем за приближенное значение корня, т.е. точка - точка пересечения хорды с осью Ох, .

y

B (b,f(b))

a x*

0 b x

А (а,f(a))

Из аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящее через две точки, используя его, запишем уравнение прямой

(2)

(или ) (2’)

Подставляя в уравнение (2) координаты точки , получаем

(3)

Формула (3) – формула метода хорд.В этой формуле числа a и b можно менять местами (или из (2’)):

(3’)

Возьмем теперь на кривой точку и проведем хорду через точки и B и найдем точку пересечения ее с осью Ох. Аналогично рассуждая, получим

;

Продолжая процесс, на (k+1) шаге получим

(4)

В рассматриваемом случае конец a меняется, получаем последовательность , а конец b не меняется.

Аналогичная картина и в случае 3).

В случаях 2) и 4) неподвижным концом является конец a и в качестве исходной формулы используется формула (3’)

Замечание: неподвижным концом отрезка является тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

Для случаев 1) и 3) последовательность - возрастающая и ограничена сверху числом . Во 2) и 4) – последовательность - убывающая и ограничена снизу числом .

Тогда по теореме об ограниченной последовательности, она сходится и имеет предел, т.е.

,

То есть при достаточно большом к мы можем получить приближенное значение корня с любой степенью точности.

Пусть корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке .

Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой на отрезке заменяется касательной к этой кривой, за приближенное значение корня принимается абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох.

Пусть для определенности и на , то есть имеем случай 1).

y

a x* c’₁

0 c’₂ b x

График функции проходит через точки и . Проведем касательную к кривой в точке . Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

(5)

Полагая и , из (5) выразим :

(6)

(6) – формула метода касательных.

Теперь корень уравнения находится на отрезке . Проведем касательную к кривой в точке и найдем точку пересечения касательной с осью Ох. Обозначим абсциссу - и получим:

(7)

Получаем последовательность приближенных значений . Каждый последующий член, которой ближе к корню . Последовательность - убывающая и ограничена снизу числом . По теореме об ограниченной последовательности, она сходится и имеет предел . За приближенное значение корня можно принять к-ое приближение . Аналогичным образом строится последовательность и в случае 3).

Замечание: для того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ох лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в том конце, где знаки функции и второй производной одинаковы.

Для случая 2) и 4) касательную надо проводить в точке A, где в – неподвижный конец.

Строя приближения, получим последовательность возрастающую и ограниченную сверху , следовательно, она имеет предел

В случае 1) и 3) приближенное значение ,

- приближенное значение корня с избытком.

Во 2) и 4) – приближение - приближение с недостатком.

Для оценки погрешности приближенного значения корня справедлива следующая теорема.

Теорема: если точный корень уравненияи его приближенное значение , на котором функция дифференцируема и , , то справедливо неравенство

Доказательство:

Так как и , на котором функция дифференцируема, то она и непрерывна в этом промежутке и в частности на концах, тогда выполняется условие теоремы Лагранжа для отрезка . По теореме Лагранжа имеем: , .

Так как , то

Взяв модули, имеем:

Так как , то

Если за взять (или ), то

, (8)

где на множестве Х

- n –ое приближение, полученное по методу хорд () или касательных ().

Рассмотренные методы численного решения уравнений удобно применять не в чистом виде, а путем их сочетания.

Например, методом проб уточнить до 0.1, то есть сузить отрезок до длины 0.1. К полученному отрезку можно применить метод хорд, касательных или оба одновременно.

Рассмотрим случай 1): . Точный корень всегда находится между любым приближением по методу хорд (слева от ) и приближением по методу касательных (справа от ).

y B

B₁

a c₁

0 c’₁ b x

A A₁

В случаях 1) и 3) приближение по методу хорд – с недостатком, а по методу касательных – с избытком.

Во 2) и 4) – по методу хорд – с избытком, по методу касательных – с недостатком.

Если применять одновременно оба метода, то формула ( 4 ) примет вид:

(9)

А формула (7) не изменится

(7)

Замечание: касательная проводится в той точке, для абсциссы которой и одинаковы по знаку. Так как в комбинированном методе находится между и , то

- погрешность метода , где - абсолютная погрешность.

Чтобы уточнить корень с точностью , нужно получить приближение, полная погрешность которого

Пример: уточнить комбинированным методом хорд и касательных, корень уравнения с точностью , корень уравнения отделен на отрезок

[-1,0]

,

, следовательно, к концу a – метод касательных, к b – метод хорд.

Приближение по методу касательных – с недостатком, по методу хорд – с избытком.

На 3ем шаге получим: -0.7391<x<-0.7389

Погрешность метода , ,