русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Численное решение нелинейных уравнений.


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 2940; Нарушение авторских прав


 

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важнейших задач вычислительной математики. Многие задачи из различных областей сводятся к решению уравнений.

Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

 

(1)

 

Нелинейные уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. В общем случае определить точно корни уравнения (1) не представляется возможным, так как коэффициенты в большинстве своем определяются экспериментально и являются числами приближенными, поэтому сама постановка задачи о точном решении теряет смысл. Возникает вопрос о нахождении приближенных значений корней, то есть речь идет о численных методах.

Определение 1: совокупность значений переменной х, при которых уравнение

(1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько их, и найти значения корней с заданной точностью.

В дальнейшем мы будем рассматривать только вычисление действий корней.

Задача нахождения корней обычно состоит из двух этапов:

- отделение корней;

- уточнение корней с заданной точностью.

I отделение корней.

Определение 2: говорят, что корень отделен на отрезке , если он принадлежит этому отрезку и других корней на отрезке нет.

Исходя из определения, следует: отделить корни уравнения – значит разбить область определения функции на промежутки, в каждом из которых находится не больше одного корня.

Во многих случаях отделение корней можно провести графически, для этого строят график функции . Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения . Можно взять точку с такую, что ,

 

y

y=f(x)

       
 
 
   



 


c

a 0 x*1 x*2 b

 

 

Построение графиков часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением

 

(2)

 

В этом случае строятся графики функций и . Находят точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения (1).

Если имеется предположение, что на (a,b) содержится корень уравнения, то это предположение затем проверяется аналитически, пользуясь свойствами непрерывных и дифференцируемых функций, которые изучались в курсе математического анализа.

Теорема 1(существования корня): если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значение разных знаков, то внутри отрезка существует по крайне мере один корень уравнения

:

Теорема 2 (существования и единственности корня): если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в интервале (a,b) существует корень уравнения (1) и этот корень единственный

:

Достаточным условием единственности корня является монотонность.

Теорема 3(существование и единственность корня): если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (a,b), принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет постоянный знак в интервале (a,b), то существует единственный корень уравнения (1) в этом интервале

:

Достаточным условием единственности корня является сохранение знака производной.

Пример: отделить корни уравнения

Перейдем к равносильному уравнению

Строим графики функций и ,

 

y

y2 1 y1

 

1

x

-1 0

 

 

Докажем аналитически существование корня в интервале (-1,0)

непрерывна как сумма двух непрерывных функций на множестве R

,

корень существует

(так как ) по теореме (3) существует единственный корень в (-1,0).

Для аналитического отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ. Фактически надо протабулировать функцию с шагом h. Как только обнаружится пара соседних значений функции , имеющих разные знаки и монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента x (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

II уточнение корней.

Итак, пусть корень уравнения отделен на отрезке . Имеем:

, , - непрерывна и монотонна.

Требуется найти корень с точностью .

 

x*

a b x

Если длина отрезка, то есть число , то и a и b можно рассматривать как приближенные значения корня, ибо абсолютная погрешность каждого из них .

Отсюда, для получения приближенного значения корня с точностью , достаточно найти отрезок, которому принадлежит корень и длина которого не больше .

Любая точка отрезка в этом случае может быть выбрана в качестве приближенного значения корня.

, или , где

Существуют различные методы уточнения корней.

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Вычисления без строгого учета погрешностей | Метод проб


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.007 сек.