Численное решение нелинейных уравнений.

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важнейших задач вычислительной математики. Многие задачи из различных областей сводятся к решению уравнений.

Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

(1)

Нелинейные уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. В общем случае определить точно корни уравнения (1) не представляется возможным, так как коэффициенты в большинстве своем определяются экспериментально и являются числами приближенными, поэтому сама постановка задачи о точном решении теряет смысл. Возникает вопрос о нахождении приближенных значений корней, то есть речь идет о численных методах.

Определение 1: совокупность значений переменной х, при которых уравнение

(1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько их, и найти значения корней с заданной точностью.

В дальнейшем мы будем рассматривать только вычисление действий корней.

Задача нахождения корней обычно состоит из двух этапов:

- отделение корней;

- уточнение корней с заданной точностью.

I отделение корней.

Определение 2: говорят, что корень отделен на отрезке , если он принадлежит этому отрезку и других корней на отрезке нет.

Исходя из определения, следует: отделить корни уравнения – значит разбить область определения функции на промежутки, в каждом из которых находится не больше одного корня.

Во многих случаях отделение корней можно провести графически, для этого строят график функции . Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения . Можно взять точку с такую, что ,

y=f(x)

a 0 x*₁ x*₂ b

Построение графиков часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением

(2)

В этом случае строятся графики функций и . Находят точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения (1).

Если имеется предположение, что на (a,b) содержится корень уравнения, то это предположение затем проверяется аналитически, пользуясь свойствами непрерывных и дифференцируемых функций, которые изучались в курсе математического анализа.

Теорема 1(существования корня): если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значение разных знаков, то внутри отрезка существует по крайне мере один корень уравнения

Теорема 2 (существования и единственности корня): если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в интервале (a,b) существует корень уравнения (1) и этот корень единственный

Достаточным условием единственности корня является монотонность.

Теорема 3(существование и единственность корня): если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (a,b), принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет постоянный знак в интервале (a,b), то существует единственный корень уравнения (1) в этом интервале

Достаточным условием единственности корня является сохранение знака производной.

Пример: отделить корни уравнения

Перейдем к равносильному уравнению

Строим графики функций и ,

y₂ 1 y₁

-1 0

Докажем аналитически существование корня в интервале (-1,0)

непрерывна как сумма двух непрерывных функций на множестве R

корень существует

(так как ) по теореме (3) существует единственный корень в (-1,0).

Для аналитического отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ. Фактически надо протабулировать функцию с шагом h. Как только обнаружится пара соседних значений функции , имеющих разные знаки и монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента x (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

II уточнение корней.

Итак, пусть корень уравнения отделен на отрезке . Имеем:

, , - непрерывна и монотонна.