Неустранимая погрешность результата выполнения действий над приближенными числами (вычисления со строгим учетом погрешностей).

Две основные задачи теории погрешности.

Прямая: указаны действия, которые следует выполнить над приближенными значениями чисел и заданы погрешности приближения. Требуется, проведя вычисления, получить результат и оценить его погрешность.

Обратная: задаются некоторые приближения к исходным данным и погрешность результата. Требуется, проведя рассуждения, найти погрешности исходных данных такие, что для них погрешность результата при выполнении вычислений не превосходила бы данной.

Замечания:

1) в прямой задаче погрешности промежуточных действий и окончательного результата берутся с избытком;

2) в обратной задаче погрешности исходных данных требуется брать с недостатком;

3) при выполнении вычисления над приближенными числами округление проводят по дополнению.

Если требуется вычислить значение функции от приближенного значения аргумента, то значение функции тоже будет числом приближенным, точность которого надо оценить. Это задача решается методами дифференциального исчисления.

Пусть задана функция, . Найти

Пусть - дифференцируемая функция. Если за начальное значение принять а, то - приращение аргумента. Заметим, что

- приращение функции.

Известно, что если мало, то .

Если - точное значение функции, а - приближенное значение, то - предельная абсолютная погрешность

(5)

Частные случаи:

1. , , ,

(6)

2.

Из ( 5 )

Из ( 3 )

(7)

3.

Из ( 5 )

Рассмотрим функцию нескольких переменных

, где

Вычислить и

Полагают, что функция дифференцируема. Примем точку за начальную точку, - текущее значение, тогда и - соответствующие значения функции.

Приращение функции - .

Найдем

(8)

Равенство ( 8 ) есть абсолютная погрешность функции нескольких переменных

Частные случаи:

1. , где ,

(9)

Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

2. , где

По ( 3 )

(10)

Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

3. , где

По (8)

(11)

Решение прямой задачи со строгим учетом погрешности предполагает, что вычисляется каждый промежуточный результат и оценивается его погрешность по формуле (3)-(11).

Для решения обратной задачи используются формулы (5) и (8).

Если используют формулу (8), то задача математики не определена в смысле не единственности решения, поэтому накладывают некоторые условия:

- полагают, что все исходные данные имеют одинаковую абсолютную погрешность

из (8)

- исходные данные имеют одинаковые предельные относительные погрешности

Используя соотношение (4) , подставим в (8)

- принцип равных влияний. Полагают, что все слагаемые в (8) одинаково влияют на погрешность

, - слагаемое,

, с другой стороны

Пример: решить прямую задачу со строгим учетом погрешности

. Найти и ?

1) и ?

2) и

3) и ?

4) и ?

5) и ?

6) и ?

Ответ: