Теория погрешности

Определение 1: значение той или иной величины, в истинности которой мы не сомневаемся, называется точным числом.

Примеры: 5 пальцев на руке, 7 дней в неделю, 5 и 7 – числа точные.

Определение 2: число, которое занимает точное число в вычислениях, называется числом приближенным. Примеры: , .

Чаще мы имеем дело с числами приближенными. Их получают, например, при измерении физических величин с помощью инструментов или приборов, имеющих определенный предел точности.

Обозначим х – точное значение, а – приближение к этому числу. Записывают

Если , то а – приближение по недостатку.

Если , то а – приближение по избытку.

, 3.14 – по недостатку, 3.15 – по избытку.

Определение 3: погрешностью приближенного числа а называется разность между точным или приближенным числом (х-а).

Определение 4: абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль погрешности. - абсолютная погрешность.

Определение 5: предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называют число, которого не превосходит абсолютная погрешность числа.

() (1)

Неравенство (1) равносильно неравенству

(2)

Краткая запись

Пример: число - предельная абсолютная погрешность. . Запись:

Абсолютная погрешность не характеризует качество приближения.

Например, на одних и тех же весах взвесили гр., гр.

В первом случае качество взвешивания лучше.

Определение 6: предельной относительной погрешностью приближенного числа а () называют отношение предельной абсолютной погрешности к модулю приближенного числа

(3)

Относительная погрешность измеряется в процентах.

Пример:

Из ( 3 )

(4)

Основные источники погрешности:

1) погрешность связана с построением математической модели и не точностью исходных данных, которые берутся в результате опыта и являются приближенными. Эта погрешность уже не может быть устранена в последующих вычислениях и потому ее называют неустранимой ()

2) приступив к решению задачи в рамках построенной модели, выбирают приближенные методы решения задач. Тем самым появляется погрешность метода, обозначают

3) погрешность округления ()

Полная погрешность – это сумма всех погрешностей

Округление. Погрешность округления.

Пусть а – приближенное число, а - округленное число, - погрешность округления.

Округление бывает:

а) по недостатку;

б) по избытку;

в) по дополнению (отбрасываются все числа справа).

Примеры:

1) а=254.82, округлить до целых.

- по недостатку

- по избытку

- по дополнению

2) а=2137543, округлить до тысяч.

- по недостатку

- по избытку

- по дополнению