Фильтры Чебышева

Отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации представляется в заданной полосе частот равновеликими пульсациями, т. е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной величины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппроксимации – в полосе пропускания или в полосе непропускания, – различают фильтры Чебышева типа 1 и 2.

Фильтры Чебышева типа 1 имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа 1 n-го порядка описывается выражением

где – полином Чебышева -го порядка, по определению равный

– параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа 1 порядка заключается в том, что не существует какого-либо другого фильтра -го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы такие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания.

Фильтры Чебышева типа 2 (иногда их называют обратными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение ослабления в полосе пропускания и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в -плоскости, а полюсы – в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной характеристики фильтров Чебышева типа 2 порядка можно представить следующим образом:

где – наинизшая частота, на которой в полосе непропускания достигается заданный уровень ослабления.