Дискретное вейвлет-преобразование

Опишем ДВП в матричном виде, а затем – на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.

В обоих случаях предполагают, что базисные функции и компактно определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностей и . Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину .

Обозначим через вектор последовательность конечной длины для некоторого . Этот вектор преобразуется в вектор , содержащий последовательности и , каждая из которых половинной длины. Преобразование может быть записано в виде матричного умножения , где матрица - квадратная и состоит из нулей и элементов , умноженных на . В силу свойств матрица является ортонормированной, и обратная ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Возьмем фильтр длиной , последовательность длиной , а в качестве начального значения - . Последовательность получим из по формуле (7.16), где . Тогда операция матрично-векторного умножения будет представлена в виде:

(7.18)

Обратное преобразование тогда выполняется как умножение на обратную матрицу :

(7.19)

Таким образом, выражение (7.18) - это одна итерация (или один этап) ДВП. Полное ДВП заключается в итеративном умножении верхней половины вектора на квадратную матрицу , размер которой . Эта процедура может повторяться d раз, пока длина вектора не станет равна 1.

В четвертой и восьмой строках матрицы (7.18) последовательность циклически сдвинута: коэффициенты, выходящие за пределы матрицы справа, помещены в ту же строку слева.

Ранее рассматривалось субполосное преобразование, как фильтрация с последующим прореживанием в два раза. В данном случае имеется два фильтра и , т.е банк фильтров – двухполосный и может быть изображен, как показано на рис.2.2.

Фильтры F и E означают фильтрацию фильтрами и , соответственно. В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константа всегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2.

Итак, схема рис. 7.1 делит сигнал уровня на два сигнала уровня . Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части. При осуществлении вейвлет-преобразования изображения каждая итерация алгоритма выполняется вначале к строкам, затем – к столбцам изображения (строится так называемая пирамида Маллата).

Рис. 7.1. Схема двухполосного банка фильтров