Вейвлет-ряды дискретного времени

В большинстве приложений работа осуществляется с дискретными сигналами. Поэтому представляют интерес дискретные аналоги НВП, которые преобразуют дискретный сигнал в непрерывный и дискретный сигналы, соответственно.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция . Дискретный сигнал представим как последовательность коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым раскладывается :

, (7.10)

где .

Другими словами, сигнал интерпретируется как последовательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции . Тогда можно вычислить аппроксимацию этой функции, принадлежащие пространствам . Пространства не имеют значения при данной интерпретации.

Согласно концепции кратномасштабного анализа функция декомпозируется на две функции и :

. (7.11)

Таким образом, получили две новые последовательности и . Этот процесс может быть продолжен по , и функция (а также и последовательность ) будет представлена совокупностью коэффициентов .

Рассмотрим, как вычисления ДВП могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами. С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, можно получить

Отсюда оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов и без непосредственного использования функций и .

.

(7.13)

получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности и называются фильтрами. Следует отметим, что и имеют «половинную» длину по сравнению с . За счет этого не вводится избыточности.

Обратный процесс заключается в получении из и :

Длина последовательности вдвое больше длины последовательности или .

Для фильтров и существуют следующие ограничения:

, (7.15)

, (7.16)

. (7.17)