Дискретное преобразование Фурье

Перейдём от интегрального преобразования Фурье (2.3) к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), при условии что точки дискретизации выбраны согласно теоремы отсчётов (теоремы Котельникова) [5,21]:

где (6.1)

Тогда нетрудно получить, что

Подобным же образом можно получить и для обратного преобразования

(6.2)

Заметим, что происхождение множителя связано с заменой при дискретизации согласно теоремы Котельникова восстанавливающую функцию в (6.2) на “гребёнку” отсчётов.

Таким образом, в матричной форме:

(6.3)

где , а сама матрица ядра ДПФ носит название матрицы дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ). При этом строки матрицы определяют набор ортогональных функций или базис разложения.

При выполнении преобразования Фурье строки матрицы ядра задают набор ортогональных функций, по которым выполняется разложение исходного сигнала. Каждый элемент вектора результата определяет вклад соответствующей ортогональной функции в формирование исходного сигнала.

Для преобразования Фурье, как и для любого ортогонального преобразования, матрица ядра преобразования обратима (т.е. определитель отличен от “0”) , что позволяет выполнить как прямое, так и обратное преобразования:

(6.4),

поскольку

При этом матрица ядра обратного преобразования обладает свойством , где - эрмитово-сопряжённая матрица. Понятие эрмитово-сопряженной матрицы предусматривает, что матрица обратного преобразования является транспонированной по отношению к и элементы её есть комплексно сопряжённые к .

Рассмотрим основные свойства матрицы ядра преобразования . Коэффициенты такой матрицы обладают следующими свойствами:

1) цикличностью: или

2) мультипликативностью

Из указанных свойств следует, матрица E_N из N² элементов содержит только N попарно различных элементов.

3) симметричностью

Рассмотрим примеры матрицы E_N для некоторых N:

N=2

N=3

N=4

и, наконец, для N=8