Числовые характеристики

Математическое ожидание (mean value) – это теоретическая оценка среднего взвешенного значения случайного процесса в момент времени :

(3.5)

Дисперсия (variance) – характеризует среднюю мощность отклонений случайного процесса от его среднего

(3.6)

Среднеквадратическое отклонение (standard deviation):

(3.7)

Примеры случайных процессов с различными законами распределения

1. Равномерное распределение: для такой случайной величины плотность вероятности является постоянной, т.е.

Функция распределения вероятности такой случайной величины на интервале линейно возрастает от 0 до 1:

Математическое ожидание:

;

Дисперсия: согласно (3.6) с учётом математического ожидания получаем:

СКО: .

2. Нормативный закон распределения – достаточно часто встречается на практике, например, он характерен для помех канала связи: при этом одномерная плотность вероятности нормальной случайной величины определяется как:

,

где и – соответственно мат ожидание и дисперсия процесса (случайные величины).

График плотности вероятности в этом случае имеет вид (для и ):

Функция распределения вероятности в этом случае обычно выражается через интеграл вероятности:

В зарубежной литературе часто используется функция ошибок (error function):

между и существует взаимосвязь:

С учётом этого функция распределения для нормального закона с математическим ожиданием и дисперсией :

.

Важное свойство:

При суммировании достаточно большого числа равномощных статистических независимых случайных величин с произвольными плотностями распределения вероятности, плотность распределения вероятности суммы стремиться к нормальной. Это положение носит название центральной предельной теоремы.

Кроме того, для математического анализа случайных величин полезным является то, что из некоррелированности гауссовых случайных величин следует их статистическая независимость.