Сформируем взвешенную функцию ошибки

Весовая функция определяется следующим соотношением

При g<1 пульсации в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот. При g=1 пульсации в полосе задерживания такие же, как в полосе пропускания.

В случае оптимального решения имеет по крайней мере K+2 экстремума.

Обозначим через , где i= 0,1,..K+1, относительные частоты экстремумов.

На этих частотах должно выполняться условие

,

где i=0,1,..K+2

Приведенные соотношения представляют собой систему K+2 линейных уравнений с K+2 неизвестными, из которых K+1 неизвестная – коэффициенты C_k аппроксимирующей функции A(θ), а K+2– неизвестная ошибка .

Трудность решения задачи состоит в том, что частоты чебышевского альтернанса f_Ni неизвестны.

Поэтому сначала произвольно выбирают K+2 значения частот, решают приведенную систему уравнений, находят C_k и и анализируют ошибку аппроксимации во всем интервале частот. Если в некоторых точках фактическая ошибка превосходит , то выбирают новое множество экстремальных частот путем рассмотрения K+2 точек, где эта ошибка максимальна и имеет чередующийся знак.

В этой процедуре значение на каждом шаге возрастает и в конце концов сходится к своей верхней границе.

Описанная итерационная процедура известна под названием второго алгоритма Ремеза. В соответствии с этим алгоритмом написана машинная программа, нашедшая широкое применение при расчете фильтров.

2.12. Синтез рекурсивных цифровых фильтров методом билинейного Z – преобразования

Передаточная характеристика аналогового фильтра связана с импульсной характеристикой фильтра прямым преобразованием Лапласа

По аналогии с предыдущим соотношением дискретное преобразование Лапласа импульсной характеристики цифрового фильтра определяется выражением

Системная функция цифрового фильтра представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра

Из сопоставления двух последних соотношений следует, что для нахождения H(z) при известной передаточной характеристике аналогового фильтра-прототипа нужно сделать подстановку

Передаточная характеристика аналогового фильтра-прототипа K(p) представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой числитель и знаменатель выражаются полиномами относительно комплексной переменной p .

где n<m

Последняя подстановка не позволяет получить системную функцию в виде дробно-рациональной функции с полиномами относительно комплексной переменной z в числителе и знаменателе.

Чтобы найти системную функцию, воспользуемся разложением ln(z) в ряд и ограничим количество членов этого ряда. Для этого сначала представим z в виде

.