Найдем приближенное значение

.

Выражая α через z и подставляя в последнее соотношение, получим

.

Следовательно,

Последнее соотношение получило название билинейного Z- преобразования.

Докажем, что билинейное Z-преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр в устойчивый цифровой фильтр. Для этого из последнего соотношения выразим z через p = s + jw

где .

Откуда

Из последнего соотношения видно, что при s<0 (условие устойчивости аналогового фильтра-прототипа) (условие устойчивости цифрового фильтра). На рисунке показаны затемненные области устойчивости аналогового фильтра - прототипа в плоскости p и цифрового фильтра в плоскости z.

Области устойчивости цифрового фильтра и

аналогового фильтра-прототипа

Таким образом, билинейное Z-преобразование преобразует левую полуплоскость плоскости p в круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Найдем связь между цифровыми и аналоговыми частотами, на которых коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа одинаковы.

Используя билинейное Z – преобразование, можно выразить передаточную характеристику аналогового фильтра через системную функцию цифрового фильтра

Следовательно, комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра можно выразить через системную функцию цифрового фильтра

С другой стороны, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра связан с системной функцией следующим соотношением

Из двух последних соотношений видно, что коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа равны при выполнении условия

Преобразуя последнее соотношение, получим

*

Таким образом, частота аналогового фильтра – прототипа связана с частотой цифрового фильтра при равенстве их комплексных коэффициентов передачи нелинейной зависимостью.

Однако, чем выше частота дискретизации, тем ближе частота аналогового фильтра – прототипа к частоте цифрового фильтра.

Если частота цифрового фильтра удовлетворяет условию , то с погрешностью не более 5% можно считать аналоговую и цифровую частоты одинаковыми.

Указанная нелинейная зависимость вызывает сжатие АЧХ цифрового фильтра по сравнению с АЧХ аналогового фильтра – прототипа.

АЧХ цифрового фильтра и аналогового фильтра – прототипа при использовании билинейного Z – преобразования

Чтобы избежать сужения полосы пропускания цифрового фильтра аналоговый прототип рассчитывают, исходя не из граничных частот полосового фильтра, а из частот, определенных по формуле * при подстановке в эту формулу граничных частот полосового фильтра. При этом получают цифровой фильтр с заданными граничными частотами.

Задача.

Требуется найти цифровой эквивалент аналоговой RC – цепи, представленной на рисунке

где