Выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Выразим Z – преобразование выходного сигнала фильтра через Z – преобразование входного сигнала

.

Разделив Y(z) на X(z), найдем системную функцию

.

Найдем комплексный коэффициент передачи фильтра, используя подстановку .

.

Обозначим

,

где

Тогда АЧХ и ФЧХ (без приведения в интервал от -π до π) фильтра определятся следующими соотношениями

,

.

Так как второе слагаемое в выражении для ФЧХ - константа (0 или π), ФЧХ этого фильтра является линейно-ломаной.

Линейность ФЧХ обусловлена симметрией коэффициентов системной функции относительно середины линии задержки (симметрией импульсной характеристики фильтра).

2.9. Синтез нерекурсивного фильтра с линейной ФЧХ методом ряда Фурье и «окна»

Задачей синтеза фильтра является определение коэффициентов его системной функции при заданных требованиях к АЧХ. В случае фильтра с линейной ФЧХ и АЧХ, определяемой рядом косинусов, этими коэффициентами являются коэффициенты .

Функция , определяющая АЧХ фильтра, является периодической функцией с периодом 2π.

Пусть требуется выполнить синтез ФНЧ, у которого функция A(θ) стремится к функции D(θ), показанной на рисунке в интервале изменения θ от –π до π.

Идеальная АЧХ ФНЧ

Разложение функции D(θ) в ряд Фурье позволяет определить коэффициенты

,

где m = 1,2 ..K.

Функция и АЧХ К(θ) при θ₀ = π / 2, K=3

Особенностью АЧХ являются пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

.

АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K = 10

АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K = 20

Увеличение длины линии задержки (уменьшение количества отбрасываемых членов разложения Фурье), делая АЧХ более прямоугольной, не устраняет пульсации АЧХ.

С увеличением длины линии задержки частота пульсаций увеличивается, однако максимальный уровень первого бокового лепестка в полосе задерживания остается практически неизменным и равным 0.1.

Пульсации АЧХ вблизи точек разрыва функции, связанные с ограничением членов разложения в ряд Фурье, получили название явления Гиббса.

Для уменьшения пульсаций рядом специалистов по цифровой обработке сигналов было предложено использование так называемых «оконных функций».

Сущность метода состоит в следующем: вместо коэффициентов системной функции b_m используют коэффициенты

,

где - m-ый отсчет оконной функции.

Простому ограничению ряда Фурье соответствует прямоугольное окно

Функции окна

Название окна	Функция окна
Окно фон Ганна (приподнятый косинус)
Окно Хемминга
Окно Блэкмана
Окно Ланцоша	, где L – целое число число

АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K=10 и сглаживанием пульсаций функцией Хемминга

АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K=20 и сглаживанием пульсаций функцией Хемминга

Из сопоставления АЧХ до сглаживания и после него видно, что эта операция приводит к существенному (примерно на 40 дБ) ослаблению пульсаций, но и к расширению переходной полосы между полосой пропускания и полосой задерживания фильтра.

Описанный метод синтеза рассмотрен на примере фильтра нижних частот. Однако его нетрудно распространить на фильтры других типов.

Например, АЧХ полосового фильтра с граничными значениями полосы θ₁ и θ₂ можно представить в виде разности АЧХ ФНЧ, как это показано на рисунке.

Представление АЧХ полосового фильтра в виде разности АЧХ ФНЧ D(θ)=D₂(θ) – D₁(θ)

Такое представление АЧХ позволяет определить коэффициенты разложения в ряд Фурье b_m как разность соответствующих коэффициентов разложений в ряд Фурье АЧХ ФНЧ

.

Аналогичным образом находятся коэффициенты разложения для режекторного фильтра (РФ) и фильтра верхних частот (ФВЧ)

Коэффициенты разложения в ряд Фурье функции, определяющей АЧХ фильтра

Тип фильтра	Коэффициенты bn
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
РФ

АЧХ полосового фильтра при θ₁=π /4, θ₂=3π /4, K=20 и сглаживающей функции Хемминга

АЧХ режекторного фильтра при θ₁=π /4, θ₂=3π /4, K=20 и сглаживающей функции Хемминга

АЧХ фильтра верхних частот при θ₀=π /2, K=20 и сглаживающей функции Хемминга

2.10. Синтез нерекурсивных фильтров с линейной

ФЧХ методом наименьших квадратов

На рисунке приведена функция D(θ) - идеальная АЧХ полосового фильтра в полосе пропускания и полосе задерживания и функция A(θ), описывающая реальную АЧХ.

Функция A(θ) и функция D(θ), описывающая

идеальную АЧХ

Функция D(θ) определяется следующим образом

Метод не накладывает ограничений на АЧХ в переходной полосе.

Функция A(θ) определяет АЧХ реального фильтра, т.к. АЧХ

Можно предположить, что при минимальном отличии функции A(θ) от функции D(θ), отличие АЧХ от D(θ) будет также минимальным.

Сформируем целевую функцию

Функция g(q) под знаком интеграла представляет собой весовую функцию, регулирующую точность аппроксимации. В интервале изменения q, где эта функция больше, точность аппроксимации выше.

Пусть, например,

Тогда, если g <1 , пульсации АЧХ в полосе пропускания будут меньше пульсаций в полосе задерживания. При g > 1 , наоборот, уменьшаются пульсации в полосе задерживания.

Условием минимума d является равенство нулю производных

Частная производная по коэффициенту С_m равна

где m = 0, 1, .. K.

Подставляя в последнее соотношение g(θ) и D(θ) и приравнивая производную нулю, получим

Поменяв местами операции суммирования и интегрирования, выполнив интегрирование и полагая m=0,1,2,…K, получим систему из K+1 уравнения с K+1 неизвестным коэффициентом C_k .

Решение этой системы завершает синтез фильтра.

2.11. Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации

Все методы, рассмотренные выше, позволяют синтезировать фильтры с линейной ФЧХ и АЧХ с допустимыми пульсациями, причем уровень пульсаций зависит от частоты. Уровень пульсаций в полосе задерживания уменьшается по мере удаления от переходной полосы, однако при синтезе приходится ориентироваться на их максимальный уровень, который должен быть меньше допустимого.

Поэтому возникает вопрос, нельзя ли уменьшить максимальный уровень за счет выравнивания пульсаций в пределах заданной полосы. Ответом на этот вопрос является метод наилучшей равномерной аппроксимации.

Требуемая АЧХ D(θ) и функция A(θ) при чебышевской

аппроксимации

На рисунке приведены требуемая АЧХ полосового фильтра D(θ), заданная в полосе пропускания и в полосе задерживания и аппроксимирующая функция A(θ) с равновеликими пульсациями.

Точками обозначены экстремумы этой функции.