KU = (KU0 / (1+KU0)) · ((P2+4P+1) / (P2+(1/QP) P+1)).
Эти две записи эквивалентны. Как видно, АФ является фильтром второго порядка, имеет два комплексно-сопряженных корня (полюса) в знаменателе. Их собственная частота и добротность соответственно равны
w0=1/RC, QP = (KU0+1) / 4.
Имеются два действительных корня в числителе (нули), которые определяют частоты перегибов АЧХ. Численной подстановкой Р=jw/w0 можно вычислить модуль | КU |(w) и построить АЧХ фильтра, либо j(w) – построить ФЧХ фильтра. Активный фильтр имеет КU = КU0 при w = w0 = = 1/RC, а при w®0 или w®¥ – КU ®1. Вид АЧХ (ФЧХ) АФ приведен в Табл.7.3.
Важным параметром полосового фильтра является его полоса пропускания (Пd = wВ – wН) при заданном ослаблении сигнала (d). Обычно принято ослабление 3 дБ (КU(wВ) = КU(wН) = КU(w0)/ ) и полоса обозначается как П. По аналогии с LC цепями фильтр принято характеризовать добротностью
Q = w0 / П,
что позволяет определять полосу пропускания фильтра. Математически добротность фильтра оценивается по величине коэффициента перед членом Р1 в знаменателе уравнения фильтра. Для АФ с 2Т-мостом добротность QP = (КU0+1)/4, т.е., чем выше усиление исходного усилителя, тем уже полоса пропускания ПФ.
2Т-мост критичен к подбору своих элементов. Отклонение в номиналах резисторов и конденсаторов от идеала приводит к неполному подавлению сигнала на частоте w0. Это можно показать в первом приближении, анализируя мост с использованием круговых диаграмм (рис. 7.2). Вектор выходного напряжения в точке 3 моста конечен и может принимать различное положение. На частоте w0 вектор U3 может быть как в фазе, так и в противофазе с напряжением U1. Это ведет к возникновению положительной, либо отрицательной обратной связи в АФ.
Рис. 7.2. а – 2Т-мост; б – векторная диаграмма моста
Подбором резистора R3 в определенных пределах удается компенсировать
разбаланс моста. При R3>R/2 на выходе моста формируется сигнал противофазный входному и возможно возникновение положительной обратной связи. При R3<R/2 преобладает отрицательная обратная связь. Регулируя R3, можно изменять КU(w) и добротность всего ПФ. Надо иметь в виду, что при изменении резисторов (и емкостей) моста изменяется его частота резонанса w0. При значительной положительной ОС в схеме возникают гармонические колебания на частоте близкой к w0. Усилитель превратится в генератор!!!
На основе 2Т-моста можно построить полосовой заграждающий АФ-ПЗ-фильтр – режектор для частот в окрестности w0 (табл. 7.3, сх. № 4). Схема фильтра построена на усилителе с КU~ 1. 2Т-мост включен последовательно в цепь сигнала и на частоте w0 имеет нулевой коэффициент передачи сигнала. Коэффициент передачи такого АФ определяется уравнением
Т = К (P2+1) / (P2+(1/QP) P+1).
Видно, что добротность корня числителя (нуля) равна бесконечности. Варьируя положение (g) движка резистора R, мы изменяем глубину положительной ОС и таким образом изменяем добротность полюса. Это определяет глубину подавления сигнала на частоте w0 и узость полосы режекции. Вид АЧХ представлен в табл. 7.3. Реально (в зависимости от настройки) удается ослабить сигнал на частоте w0 приблизительно на 40 дБ.
Рассмотрим активный ПФ на основе моста Вина (табл.7.3, сх. № 2). В схеме ПФ-ПП усилителя частотно-зависимое плечо моста Вина включено в цепь положительной ОС. Данная цепь является слабо избирательной и имеет коэффициент передачи (табл.7.1, сх.№ 3)
К1-3 = КОС = 1 / (3+jx), или КОС= P / (P2+3P+1).
На частоте w0 = 1/RC цепь положительной ОСимеет максимум КОС=1/3 при фазовом сдвиге равном нулю, т.е. на этой частоте мост проявляет себя как чисто омический делитель.
Во избежание генерации усилитель имеет цепь последовательной отрицательной ОС (ООС) – второе плечо моста Вина, коэффициент передачи которой (КООС=R2 / (R1+R2)) не зависит от частоты в рабочем диапазоне частот. На частоте настройки w0 глубина отрицательной ОС выбирается равной глубине положительной ОС, и усиление АФ максимально. При отклонении частоты сигнала, как в область нижних, так и верхних частот, глубина положительной ОС уменьшается, и в схеме преобладает отрицательная ОС, что ведет к уменьшению коэффициента передачи усилителя. Так формируется АЧХ полосового фильтра (табл. 7.3).
Расчет уравнения АЧХ фильтра проводится так же, и с теми же предположениями, что и в предыдущих случаях. Записываются условия на
входе усилителя:
(eГ – jп) / Z2 = (jп – uВЫХ) / Z1,
jо = uВЫХR2 / (R1 +R2),
jп – jо = uВХ = uВЫХ / KU0 ,
где Z1 =R +1/pC, Z2 = R / (1+pCR).
Решение системы уравнений с подстановкой P=jw/w0 дает
Как видно, АФ – полосовой усилитель. Он имеет два комплексно-сопряженных корня (полюса) с собственной частотой w0 = 1/RC и два действительных корня – (нуля). Добротность полюса, а следовательно, и ПФ (QP = 1/(3–К)) зависит от величины К, т.е. от глубины ООС. Если КООС= 1/3 и КU0 КООС> 1, то QP = КU0 / 9, КU(w0) = 2КU0/3.
Если К ³ 3, то усилитель превращается в генератор колебаний близких к гармоническим на частоте w0. В таком качестве схема весьма популярна как генератор, частоту колебаний которого легко перестраивать в значительных пределах, изменяя одновременно и в одинаковых пределах величины резисторов R, либо конденсаторов C.
Заграждающий АФ – полосовой фильтр на основе моста Вина можно осуществить по схеме (табл. 7.3, сх. № 5). Сигнал (eГ – uВЫХ) подается одновременно на оба плеча моста – частотно-зависимое и частотно-независимое. Коэффициент передачи частотно-зависимого плеча от точки 2 к точке 3 (K2-3) имеет неярко выраженный минимум K2-3 = 2/3 на частоте резонанса w0 при фазовом сдвиге равном нулю (см. табл. 7.1). Можно подобрать частотно-независимый делитель R4–R5 (см. табл. 7.3, сх. № 5) так, что на частоте w0 на инвертирующий и неинвертирующий входы операционного усилителя будут приходить сигналы равные по амплитуде и по фазе. Результирующий сигнал на выходе усилителя будет существенно ослаблен (КUсинф !) и стремится к нулю.
При отклонении частоты от резонанса сигнал на неинвертирующем входе ОУ будет возрастать по сравнению с сигналом на инвертирующем входе. Это вызовет увеличение напряжения на выходе ОУ. Благодаря действию положительной ОС слабо выраженный минимум исходной АЧХ моста Вина превращается в достаточно узкий минимум АЧХ всего АФ.
Математическое описание АФ-ПЗ представлено в табл. 7.3, а способ решения аналогичен ранее примененному. Данный фильтр является фильтром II порядка с бесконечной добротностью нуля. Реальное ослабление сигнала достигает 40 дБ.
Для построения полосовых фильтров очень часто используют Т-мост (табл. 7.1, cх. № 4), при этом удобно выбирать С1 = С2. На частоте w0 = = 1/(R1R2C1C2)0.5 мост имеет максимум коэффициента передачи сигнала К2-3 = u3/u2, одновременно К1-3 = u3/u1 на этой частоте имеет минимум. При организации АФ-ПП (табл. 7.3, сх. № 3) Т-мост точками 1, 3 включается в цепь отрицательной обратной связи, в точку 2 включен источник сигнала. В цепи положительной обратной связи используется частотно-независимое звено – делитель R5–R6. Варьируя глубину положительной ОС с помощью делителя R5–R6 можно изменять коэффициент усиления АФ и его добротность. АФ с Т-мостом является фильтром II порядка. Его АЧХ представлена в табл. 7.3.
Заграждающий полосовой фильтр на основе Т-моста (см. табл. 7.3, сх. № 6) строят по аналогии с ПЗ активным фильтром на основе моста Вина путем подачи сигнала через частотно-зависимое и частотно-независимое плечи на неинвертирующий и инвертирующий входы ОУ. На частоте резонанса w0 сигналы на обоих входах ОУ идентичны, что и приводит к существенному ослаблению сигнала на выходе усилителя. Ослабление может достигать 40 дБ. Варьируя с помощью делителя R5–R6 глубину положительной обратной связи, можно изменять ширину полосы заграждения и степень подавления сигнала. Фильтр является фильтром II порядка, его уравнение приведено в табл. 7.3.
) и полоса обозначается как П 
