Вычислите определитель методом разложения по строке или столбцу.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Методические указания

Пример типового решения

Вычислим определитель методом разложения по строке или столбцу .

u Решение. Для вычисления определителя воспользуемся теоремой Лапласа:определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения , где

а_ij – элемент определителя, стоящий в i – строке матрицы,А_ij–алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю (если нулевых элементов нет, выбирается любой ряд).

Так разложение определителяпо первой строке имеет вид

Определители третьего порядка можно вычислить методом треугольников (см. лекцию №2 рабочей тетради).

Ответ: 28t

3. Вычислите произведение матриц А×В

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30.
,

Методические указания

Пример типового решения

Найдем произведение матриц А = и В = .

u Решение. Определим размеры матриц и выясним, существует ли произведение данных матриц. Произведение матриц существует, так как число столбцов первой матрицы равно числу строк второй . Полученная матрица будет иметь размеры 3´3. При расчете каждого элемента матрицы необходимо использовать правило: каждый элементы искомой матрицы равен сумме произведений элементов i - строки матрицы А на соответствующие элементы j- столбца матрицы В.

t

4. Найдите обратную матрицу для матрицы А.

1.

2.

3.

4.

5

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Методические указания

Пример типового решения

Пусть необходимо найти матрицу обратную матрице А.

u Решение. Воспользуемся алгоритмом вычисления обратной матрицы.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы, если он не равен нулю, значит, матрица невырожденная и существует обратная.

2. Находим матрицу А´, транспонированную к матрице А (меняем строки со столбцами местами).

3. Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

4.

Выполним действия по алгоритму:

1. Вычисляем определитель матрицы½А½ = 24 + 0 + 0 – 4 – (–4) – 0 = 24¹ 0 - матрица невырожденная, значит, существует обратная.

2. Транспонируем матрицу

3. Находим алгебраические дополнения всех элементов транспортированной матрицы.

А₁₁ = (-1) ^{1 + 1} = 8, А₁₂ = (-1)^{1 + 2} = 2, А₁₃ = (-1)^{1 + 3} = 4,

А₂₁ = (-1)^{2 + 1} = -4, А₂₂ = (-1)^{2 + 2} = 5, А₂₃ = (-1)^{2 + 3} = 2,

А₃₁ = (-1)^{3 + 1} = -4, А₃₂ = (-1)^{3 + 2} = -1, А₃₃ = (-1)^{3 + 3} = 14.

4. Тогда присоединенная матрица имеет вид:

Вычислим обратную матрицу по формуле

t

5. Решите матричное уравнение.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. =

9.

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

15.

16. =

17.

18. =

19.

20. =

21.

22. =

23.

24. =

25.

26. =

27.

28. =

29.

30. =

Методические указания

Пример типового решения

Пусть требуется решить матричное уравнение .

u Решение. Запишем матричное уравнение в видеА×Х = В, где

Умножим обе части уравнения слева наА ^{– 1} (если существует обратная матрица)

А^-1× А× Х = В, т.к. А^-1× А = Е и Е× Х = Х, получим Х = А^-1× В

Для решения уравнения вычислим матрицу А^-1.

Найдем определитель матрицы А: D = 3 – 4= – 1 ≠ 0, значит матрица невырожденная и существует обратная, и исходное уравнение имеет (единственное) решение.

Найдем обратную матрицу (см. задание 4) А ^{– 1} =

Вычислим неизвестную матрицу .t

6. Решите систему линейных уравнений:

1) по формулам Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Методические указания

Пример типового решения

Пусть требуетсярешить систему уравнений методом обратной матрицы

u Решение.Обозначим – матрицу коэффициентов системы,

– матрица-столбец неизвестных, – матрица свободных членов.

Тогда в матричной форме данная система имеет вид: А×Х = В. Найдем определитель |A| = 6¹ 0, значит матрица А – невырожденная, и существует обратная А^{- 1}.

Обратную матрицу находим по алгоритму (см. задание 4).

.

Теперь по формуле Х = А^-1В = ,

т.е. решение системы (1; 2; – 2). t

Решимэту систему уравнений по формуламКрамера:

u Решение. Найдем определитель системы (правилом треугольников или по теореме Лапласа) D = 6. Так как D¹ 0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц D₁ , D₂ , D₃ , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

.

Теперь по формулам Крамера найдем значения неизвестных

,

т.е. решение системы (1; – 1; 2). t