Принцип Вальда

Если речь идет только об одной партии игры, рассуждение игроков согласно этому принципу следующее:

Игрок А.

Мои минимальный выигрыш для каждой стратегии (1, 2, 3, 4) будет такой (-1; -2; -2; -2).

Я выбираю максимум из минимальных выигрышей, то есть играю чистую стратегию 1.

- нижняя цена игры (гарантированный выигрыш)

Игрок В Мои максимальный проигрыш для стратегии ( I, II, III ) будет соответственно

(2; 1; 3), следовательно β - верхняя цена игры равна 1 (максимальный проигрыш 1).

Я выбираю минимум среди максимальных проигрышей – то есть избираю чистую стратегию II.

Очевидно, что выбор стратегии, отличных от стратегий определяемых принципом фон Неймана, только увеличивает риск каждого игрока.

Рассмотрим теперь матрицу .

Поиск максимина приводит игрока А к стратегии (2) – откуда минимальный гарантированный выигрыш – (1).

Поиск минимакса приводит игрока А к стратегии (I) – откуда минимальный гарантированный проигрыш – (1).

Здесь максимин и минимакс совпадают. Они имеют в качестве своего значения один и тот же элемент, который называется седловой точкой (наименьший в своей строке и наибольший в своем столбце)

Тогда, каким бы ни было число партий в матче, выбираемые оптимальные стратегии останутся одними и теми же. В каждой партии А будет выигрывать, а В будет проигрывать 1.

В предыдущем примере матрица не имеет седловой точки.

Представим себе, что противники решили играть матч. Рассуждения противников будут следующие.

Игрок А.

Независимо от принятой противником стратегии, я выбираю строки 1, 2, 3, 4 с частотами

так, чтобы обеспечить выигрыш не меньший, чем (g).

Игрок А

Игрок В

Игрок В.

Независимо от принятой противником стратегии, я выбираю столбец (I, II, III) с частотами

так чтобы обеспечить проигрыш не больший, чем (g).

Мы пришли к задачам линейного программирования ( прямой и двойственной).

Существование смешанной оптимальной стратегии – содержание теоремы Фон Неймана.

Здесь мы находим понятие равновесия (едина значение игры), устойчивости и безопасности (невозможность для каждого игрока отклониться от оптимальной стратегии без дальнейшего риска)