РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

6.1. Цилиндрические функции

В дальнейшем нам понадобится решать уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах. В ре­зультате разделения переменных появится обыкновенное диффе­ренциальное уравнение:

(6.1)

Оно называется уравнением цилиндрических функций, или уравнением Бесселя порядка n. Общее решение уравнения (6.1) записывают в следующей форме:

(6.2)

Оба варианта решений эквивалентны. Здесь:

· J_п(х) - функции Бесселя порядка п,

· N_n(x) - функции Неймана порядка п,

· Н⁽¹⁾_n(х) - функ­ции Ханкеля (Ганкеля) первого рода порядка п,

· Н⁽²⁾_n(х) - функ­ции Ханкеля второго рода порядка п.

Это различные виды цилиндрических функций.

Функции Бесселя, Неймана и Ханкеля связаны соотношением:

(6.3)

Цилиндрические функции не являются периодическими, но они «осциллируют». Функции Бесселя и Неймана с ростом х принима­ют значения, колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой и приближающиеся к тригонометрическим при х → ∞. Существенно то, что J₀(0) = 1, а J_n(0) = 0 при n ≠ 0 и N_n(0) = -∞. Графики цилиндрических функций приведены на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Графики цилиндрических функций

В справочной литературе имеются таблицы цилиндрических функций. Программы для их расчета включены в библиотеки языков программирования с физико-техническим уклоном, например, в СИ++.

Нам понадобятся значения аргументов х, при которых функции Бесселя и их первые производные обращаются в нуль, т. е. корни х = υ_nm уравнения J_n(x) = 0 и корни х = μ_nm уравнения J’_n (х) = 0. Они приведены в таблицах 6.1 и 6.2.

Ниже приведены некоторые формулы, часто используемые при операциях с цилиндрическими функциями. Цилиндрические функции обозначены Z_n(x). При этом подразумеваются функция Бесселя, Неймана или Ханкеля целого порядка.

Формулы дифференцирования:

(6.4)

в частности,

(6.5)

(6.6)

Далее из (6.6) следует:

	(6.7)
	(6.8)
	(6.9)

в частности:

(6.10)

Формулы интегрирования:

	(6.11)
	(6.12)

	(6.13)
	(6.14)
	(6.15)

Асимптотические представления:

	(6.16)
	(6.17)
	(6.18)
	(6.19)

Запишем степенной ряд:

(6.20)

При х << 1 отсюда следует:

(6.21)

в частности,

(6.22)

При малых x имеем также:

(6.23)

В (6.23) γ = 1.781......, n > 0.

6.2. Задачи в цилиндрических координатах

Двумерное уравне­ние Гельмгольца в цилиндрических координатах имеет следующий вид:

(6.24)

Решение этого уравнения будем искать как произведения T(r,α) = R(r)A(α).

Рядом не слишком сложных и логичных операций соотношение (6.24) можно разбить на два отдельных уравнения:

	(6.25)
	(6.26)

Первое уравнение (6.25) - это уравне­ние Бесселя при у = R, х = χr. Его общее решение запишем в следующей форме:

(6.27)

Решение второго уравнения, (6.26), также известно:

(6.28)

Таким образом, найден общий вид решения Т = RA уравнения в ци­линдрических координатах, содержащий ряд неопределенных кон­стант.

Для анализа распространения поля в круглом волноводе необходимо решить две краевые задачи (5.8) и (5.9) в цилиндрических координатах для кругового контура диаметром R. Собственные функции и собственные значения решения первой краевой задачи (5.8) имеют следующий вид:

	(6.29)

Решения второй краевой задачи (5.9) записываются так:

	(6.30)

В заключение рассмотрим кольцевую область. Она имеет два контура в виде окружности на расстоянии R₁ и R₂ от центра.

Начнем с решения первой краевой задачи (5.8). Уравнение для собственных значений запишем в следующем виде:

(6.31)

Для получения полных собственных функций воспользуемся следующим выражением:

(6.32)

Его надо подставить в первую строчку (6.29) вместо . Таблицы для χ_nm имеются в различ­ных справочниках.

Уравнение относительно χ во второй краевой задаче (5.9) для той же кольце­вой области записывается в виде:

(6.33)

Вместо (6.32):

(6.34)

где χ_nm - корни (6.33); они приводятся в справочниках.

Для получения полных собственных функций надо внести R(r) (6.34) вместо в (6.30), отбросив А.