Начнем с рассмотрения неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца:
(7.1)
Оно отличается от уравнения Пуассона наличием второго члена в левой части.
Как и при интегрировании уравнения Пуассона, в данном случае вводится функция Грина G(r, r'). Она является решением исходного уравнения (7.1) при правой части в виде дельта-функции Дирака:
(7.2)
Функция Грина имеет вид:
(7.3)
Используя, вторую формулу Грина, получаем на основе (7.1) и (7.2) интегральное соотношение:
(7.4)
В процессе преобразований использована симметрия функции Грина относительно аргумента r и r', т. е. возможность замены в формуле (7.3) r на r' и обратно.
Внося выражение функции Грина (7.3) в решение (7.4), получаем:
(7.5)
Для нас наиболее интересен случай, когда решение ищем во всем безграничном пространстве, так что граница S области V относится в бесконечность. При этом функция fm(r) отлична от нуля только в некоторой ограниченной области.
Выделим класс решений, для которого при отнесении в бесконечность границы S поверхностный интеграл в решении (7.5) исчезает. Выделенный класс решений потребует отдельного исследования, которое будет произведено ниже. Пока же отметим, что в рассматриваемом случае из (7.5) следует:
(7.6)
Интегрирование здесь фактически распространяется только на область, в которой fm(r) ≠ 0. Таким образом, мы получили выражение решения неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца (7.1).
Возьмем векторное уравнение:
(7.7)
Рассмотрим его проекции на оси декартовой системы координат. Получим три скалярных уравнения типа (7.1), решения которых при оговоренных условиях выражаются формулой (7.6). Складывая их, запишем справедливое при тех же условиях представление решения неоднородного векторного уравнения Гельмгольца (7.7):
(7.8)
7.2. Условие излучения
Остается выяснить характер решений, для которых получены представления (7.6), (7.8), и уточнить требования, которым они должны удовлетворять.
Рис. 7.1. Схема решений уравнений Гельмгольца
Схема, поясняющая роль радиус-векторов r и r' при интегрировании, дана на рис. 7.1.
Зафиксируем точку Р(r), в которой рассматривается решение. При интегрировании в формулах (7.6) и (7.8) конец Q радиус-вектора r' пробегает область, внутри которой f ≠ 0 , т. е. локализованы источники. Иллюстрация этого случая приведена на рис. 7.1,а.
При вычислении поверхностного интеграла в формуле (7.5) точка Q находится на поверхности S (рис. 7.1,б). Будем относить поверхность S в бесконечность, считая ее сферой радиуса r'. Тогда v' = r , а поскольку при r' → ∞ исчезает различие между |r - r'| и r', то подынтегральное выражение в пределе принимает следующий вид:
Поскольку площадь поверхности сферы пропорциональна (r')2, то поверхностный интеграл в формуле (7.5) при отнесении границы S в бесконечность исчезнет, если выполняется следующее условие:
Отбрасывая несущественный общий множитель и бесконечно малый член в скобках, а также изменяя обозначение аргумента r’ → r, получаем следующее условие:
(7.9)
Этому условию должны удовлетворять решения, определяемые по формуле (7.6). Это так называемое условие излучения Зоммерфельда.
Легко убедиться, что условию излучения (7.9) удовлетворяют только решения, имеющие при r → ∞ вид расходящихся сферических волн:
(7.10)
Это значит, что из рассмотрения исключаются все те решения, которые нельзя интерпретировать как волны, создаваемые заданными источниками.
Чтобы записать условие, определяющее класс решений векторного уравнения Гельмгольца (7.7), представляемых формулой (7.8), надо лишь заменить в (7.9) комплексную амплитуду на комплексную амплитуду вектора. Это векторное условие излучения.
Как видно, решения (7.6) и (7.8) по своему характеру выражают расходящиеся волны, т. е. волновой процесс, возбуждаемый в области источника (где f ≠ 0), который, запаздывая, распространяется в пространстве. Такой характер имеет уже функция Грина (7.3). Надо иметь в виду, что при замене ехр(-jγr) на exp(jγr) формула (7.3) определяет другую функцию Грина (решение уравнения (7.2)), которая сама имеет смысл сходящейся волны и порождает такого же рода решения уравнения (7.1). Этот класс решений лишен физической содержательности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Никольский, Т.И. Никольская. М: Наука, 1989. – 544 с. – ISBN 5-02-014033-3.
2. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М: Наука, 1986. – 544 с.
3. Петров, Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн / Б.М. Петров. М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 558 с.
