Лекция 12. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Предположим, что цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.

Итак,пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m^х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х₁, ..., х_m), y = (y₁,..., y_n) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры u должны удовлетворять соотношениям.

(46)

(47)

Разделим все уравнения и неравенства в (46) и (47) на u (это можно сделать, т.к. по предположению u > 0) и введём обозначения:

, ,

Тогда (46) и (47) перепишется в виде :

, , , ,

, , , .

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения х_i и, следовательно, p_i , чтобы цена игрыu была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений p_i , при которых

, . (48)

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения y_j и ,следовательно, q_j, чтобы цена игры u была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений q_j, , при которых

, . (49)

Формулы (48) и (49) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП).

Решив эти задачи, получим значения p_i , q_j и u. Тогда смешанные стратегии, т.е. x_i и y_jполучаются по формулам :

(50)

Пример. Найти решение игры, определяемой матрицей.

Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :

Решим вторую из них

Б.п.	q1	q2	q3	q4	q5	q6	Решение	å	Отношение
	-1	-1	-1					-3
q4									—
q5
q6									—

Б.п.	q1	q2	q3	q4	q5	q6	Решение	å	Отношение
		-1
q4
q3									—
q6

Б.п.	q1	q2	q3	q4	q5	q6	Решение	å	Отношение
q2
q3
q6

Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что

(q₁, q₂, q₃) = (0;; 1),

а из соотношений двойственности следует, что

( p₁, p₂, p₃) = (; 1; 0).

Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А₁ равна

. ,

а игры с платёжной матрицей А :

.

При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид:

Х = (х₁, х₂, х₃) = (uр₁; uр₂; uр₃) = =

Y = (y₁, y₂, y₃) = (uq₁; uq₂; uq₃) = = .