Решение.

Пример 2

Найти решение матричной игры, заданной матрицей выигрышей первого игрока.

1. Проверим, есть ли у данной игры решение в области смешанных стратегий, т.е. есть ли у заданной матрицы седловая точка.

a. Найдем нижнюю цену игры :

b. Найдем верхнюю цену игры :

c. Нижняя цена игры не равна верхнее цены игры, следовательно, седловой точки у заданной матрицы выигрышей нет и решения в чистых стратегиях отсутствует. Поэтому решение необходимо искать в области смешанных стратегий.

2. Матрица имеет размерность 4 ^x 2. В этом случае строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1.

3. Ломанная a₁₁Ka₄₂ соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок – перпендикуляр из точки K до оси x - цене игры.

Таким образом, полезными стратегиями первого игрока ( Полезные стратегии – это те стратегии, который входят в состав оптимальной смешанной стратегии) являются стратегии А1 и А4, так как точка К образована пересечением именно этих стратегий.

4. Тогда можно перейти к матрице А* 2 х 2:

5. Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока, применив формулу (43):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия первого игрока X=. Стратегии А₂ и А₃ не входят в оптимальную смешанную стратегию (это видно из рисунка), поэтому частота (вероятность) их использования равна нулю.

6. Находим цену игры, применив формулу (44):

Проверка: цена игры должна удовлетворять следующему неравенству:

Это неравенство выполнено:

7. Находим оптимальную смешанную стратегию второго игрока, используя формулу (45):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия второго игрока Y=.

Ответ: Оптимальное решение находится в области смешанных стратегий. Оптимальная стратегия первого игрока X=, оптимальная стратегия второго игрока Y=, цена игры .