Случайные величины

Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.

Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Здесь - алгебра событий. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления герба – дискретные случайные величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее значения заполняют некоторый интервал, возможно, бесконечный. Здесь - сигма - алгебра событий. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения . Имеем полную группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий . Вероятности этих событий равны соответственно . Будем говорить, что дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями .

Законом распределения дискретнойслучайнойвеличины называется любое соотношение, устанавливающее зависимость между ее значениями и вероятностями , с которыми эти значения достигаются.

Основные формы закона распределения дискретной случайной величины: ряд распределения – таблица

		…..
		…..

многоугольник распределения

p₃

p₂

p₁, p_n

x₁ x₂ x₃ …x_n

Можно задать закон распределения в виде аналитической зависимости, связывающей значения и вероятности .

Рассмотрим непрерывную случайную величину. Для непрерывной случайной величины , поэтому рассматривают события и вероятности этих событий.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называется вероятность события . = .

Свойства функции распределения.

1) по аксиомам вероятности,

2) , если , т.е. функция распределения – неубывающая функция.В самом деле, , следовательно, .

3) В самом деле, событие - невозможное, и его вероятность нулевая. Событие - достоверное, и его вероятность равна 1.

4) . Так как события несовместны и событие есть сумма этих событий, то .

График функции распределения имеет, примерно, следующий вид

F(x)

1

x

Функцию распределения можно определить и для дискретной случайной величины. Ее график будет графиком ступенчатой функции со скачками в p_i в точках x_i , непрерывной слева в этих точках.

F(x)

1

p₃

p₂

p₁

x

x₁ x₂ x₃ x_n

Для непрерывной случайной величины вводится плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения(вероятностей) называется производная функции распределения .

Ясно, что .

Часто функцию распределения называют интегральным законом распределения, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения. Так как , то p(x)dx называется элементом вероятности.

Свойства плотности распределения.

1) , так как функция распределения – неубывающая функция,

2) (условие нормировки) , так как .

Числовые характеристики случайных величин.

Начальный момент s-го порядка

Для дискретных случайных величин .

Для непрерывных случайных величин .

Математическим ожиданиемслучайной величины называется ее первый начальный момент m_x = M(x) = .

Для дискретных случайных величин . Если на числовой оси расположить точки с массами , то - абсцисса центра тяжести системы точек. Аналогично, для непрерывных случайных величин имеет смысл центра тяжести кривой распределения.